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Originalprüfung 2012 Analysis Wahlteil 2


Zugelassene Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung

Aufgabe

Gegeben sind die Funktion \(f\) und für jedes \(t>0\) die Funktion \(g_t\) durch:

\(f(x)=(\sin(x))^{2}\) bzw. \(g_t(x)=t \cdot \sin(x);\quad x \in \mathbb{R}\)

a)

Skizzieren Sie die Graphen von \(f\) und \(g_1\) für \(0 \leq x \leq \pi\) in einem gemeinsamen Koordinatensystem.
Geben Sie die Periode und die Amplitude der Funktion \(f\) an.

An welchen Stellen unterscheiden sich die Funktionswerte von \(f\) und \(g_1\) im skizzierten Bereich am stärksten?
Wie groß ist dieser Unterschied?

  • Punkte:  6

b)

Für welchen Wert von \(t\) schneiden sich die Graphen von \(f\) und \(g_t\) im Ursprung unter einem Winkel von 45°?

Der Graph der Funktion \(f\) schließt im Bereich \(0\underline{<}x\underline{<}\pi\) mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein.
Für welchen Wert von \(t\) hat die Fläche, die der Graph von \(g_t\) im gleichen Bereich mit der \(x\)-Achse einschließt, den gleichen Inhalt?

  • Punkte:  6

c)

\(K\) ist der Graph der Funktion \(g_1\).
Durch Spiegelung von \(K\) an der Geraden \(h:y=2\) entsteht der Graph \(\overline{K}\).
Geben Sie eine zu \(\overline{K}\) gehörende Gleichung an.

\(K\) rotiert um die Gerade \(h\).
Dadurch entsteht im Bereich \(0{,}5\leq x\leq5{,}2\) das Modell eines Pokals, dessen Standfläche den Mittelpunkt \(M(0{,}5|2)\) hat. Der massive Boden des Pokals reicht von der Standfläche bis zur engsten Stelle.
Untersuchen Sie, ob ein Liter Flüssigkeit in den Pokal passt.
1 LE entspricht 2,5 cm.

  • Punkte:  6
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