Nullstellen – Klassenarbeiten
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In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate 1 aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t) = \frac14 t^3 -12t^2 +144t +250;\quad t \in \mathbb{R}\) , für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{h}\) und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t = 0\) und endet zum Zeitpunkt \(t = 24\) . Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der
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Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion mit: ( in Stunden nach Beobachtungsbeginn; in Fahrzeuge pro Stunde) Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Nullstellen – Lexikoneinträge
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Faktorisieren bedeutet ganz allgemein „in ein Produkt umwandeln“. Je nachdem, was als Produkt von Faktoren geschrieben werden soll, unterscheidet man Faktorsierung von Zahlen, hier ist vor allem die Primfaktorzerlegung von Bedeutung. Faktorisierung von Termen . Im einfachsten Fall geht es dabei um das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors aus einer Summe. In der Analysis spielt das Faktorisieren z. B. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen eine Rolle, denn nach der Faktorregel wird ein faktorisierter Funktionsterm genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Mit anderen Worten...
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Das Newton-Verfahren (nach Isaac Newton ) ermöglicht die näherungsweise Berechnung von Nullstellen einer Funktion . Die Grundidee bei dieser Methode ist es, die gegebene Funktion in einem Intervall [ a ; b ], in dem sicher eine Nullstelle liegt, durch ihre Tangente in einem „Startpunkt“ P 1 ( x 1 | f ( x 1 )) (mit a < x 1 < b ) anzunähern. Die Nullstelle x 2 dieser Tangente ist eine erste Näherung für die gesuchte Nullstelle der Funktion. Der Trick ist dann einfach, den Punkt P 2 ( x 2 | f ( x 2 )) als Ausgangspunkt für den nächsten Berechnungsschritt zu verwenden usw. Das Newton-Verfahren ist...
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Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist: 5 · 293.257 · \(\pi\) · 0,22 · 0 · (–111) = 0 Dies gilt auch, wenn die Faktoren Terme sind und Variablen enthalten. Dies kann man sich zunutze machen, wenn man wissen will, ob eine Funktion (mindestens) eine Nullstelle hat: Wenn man die Funktion faktorisieren also als Produkt schreiben kann, genügt es einen Faktor zu finden, der null wird. Beispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4 + 3x^2 –0,5x = 0\) hat eine Nullstelle bei x = 0, denn \(x^4 + 3x^2 –0,5x = 0 \ \ \Leftrightarrow...
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Der Satz von Vieta (nach Franciscus Vieta bzw. François Viète ) beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung in Normalform und ihren Nullstellen . Wenn x 1 und x 2 die Lösungen der Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) sind, dann ist \((\text I) \quad x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) und es gilt \((\text {II}) \quad x_1 + x_2 = -p \ \land \ x_1 \cdot x_2 = q\) Anmerkung: Beweisen kann man dies durch Ausmultiplizieren der rechten Seite von (I) und anschließenden Koeffizientenvergleich. Es gibt auch eine Version des Vieta-Satzes für kubische Gleichungen...
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Betrachtet wird die Funktion \(f : x \mapsto \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4 x^2 + 16x + 12} = \frac{u (x)}{v (x)}\) . Bestimmung der Nullstellen von Nenner und Zähler Nenner: \(v (x) = 4 x^2 + 16x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) oder \(x = - 1\) Damit erhält man: \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{- 3; - 1\}\) . Zähler: \(u (x) = x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \Leftrightarrow u(x) = (x - 1)^2 \cdot (x + 1) \Leftrightarrow x = - 1\) oder \(x = 1\) (doppelte Nullstelle von \(u\) ), \(x = 1\) ist (doppelte) Nullstelle von \(f\) , da \(u (1) = 0\) und \(v (1) \neq 0\) . \(x = - 1 \notin D_f\) , also...