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Abiturprüfung

Abiturprüfung Analysis I A1 2013 BY

Abitur 120 Minuten

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    17 Minuten 7 Punkte

    Teil 1

    Gegeben ist die Funktion \(g:x\rightarrow \sqrt{3x+9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

    1. Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Nullstellen von \(g\) an.
    2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P(0|3)\).
  • Aufgabe 2

    10 Minuten 4 Punkte

    Geben Sie jeweils den Term in einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat.

    1. \(W=[2;+\infty]\)
    2. \(W=[-2;2]\)
  • Aufgabe 3

    7 Minuten 3 Punkte

    Geben Sie für \(x \in \mathbb{R}^{+}\) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

    \((\ln x-1)\cdot (e^{x}-2)\cdot (\frac{1}{3}-3)=0\)

  • Aufgabe 4

    14 Minuten 6 Punkte

    Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f\). Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Integralfunktion:

    \(F:x\longmapsto \int\limits_{1}^{x} f(t)\mathrm{d}t\)

    Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von \(F\) sowie \(F(0)\).

     

  • Aufgabe 5

    1 Minute 6 Punkte

    Teil 2

    Gegeben ist die in  definierte Funktion . Abbildung 2 zeigt den Graphen  von .

     

    1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass  punktsymmetisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von  plausibel, dass  gilt.
    2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von .
      [Zur Kontrolle: ; y-Koordinate des Hochpunkts: ]
    3. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate  von  im Intervall  sowie die lokale Änderungsrate  von  an der Stelle .
      Berechnen Sie, um wie viel Prozent  von  abweicht.
    4. Der Graph von , die -Achse und die Gerade  mit  schließen für  ein Flächenstück mit dem Inhalt  ein.
      Zeigen Sie, dass  gilt.
      Geben Sie  an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
    5. Die Ursprungsgerade mit der Gleichung  schließt mit  für  ein Flächenstück mit dem Inhalt vollständig ein.
      Berechnen Sie die -Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden  mit  und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein.
      Berechnen Sie .
  • Aufgabe 6

    15 Minuten 6 Punkte

    Im Folgenden wird die Schar der in  definierten Funktionen  mit  betrachtet.

    1. Geben Sie in Abhängigkeit von  ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von  sowie das Verhalten von  für  an.
    2. Die Anzahl der Nullstellen von  hängt von  ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von  an, sodass gilt:
      α)  hat keine Nullstelle.
      β)  hat genau eine Nullstelle.
      γ)  hat genau 2 Nullstellen.
    3. Begründen Sie für anhand einer geeigneten Skizze, dass

      gilt.

  • Aufgabe 7

    58 Minuten 24 Punkte

    Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

    Die Funktion  beschreibt für  modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist  die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h.,  entspricht dem Jahr 1965) und  die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

    1. Ermitteln Sie auf der Grundlage des Modells näherungsweise, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt. 
    2. Welche zukünftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.
    3. Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt.
      Bestimmen Sie einen Näherungswert für dieses Jahr.
      Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.