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Lexikon Mathe

mehrstufige Zufallsexperimente

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird entweder ein Zufallsexperiment (mehrfach) wiederholt oder es werden verschiedene Zufallsexperimente hintereinander ausgeführt und bestimmte Ergebniskombinationen der Einzelexperimente („Stufen“) als Ergebnisse bzw. Ereignisse des mehrstufigen Zufallsexperiments untersucht.

Beispiele für den ersten Fall sind die verschiedenen Urnenmodelle, bei denen aus einer abstrakten „Urne“ mit mehreren, zum Teil unterschiedlich gefärbten Kugeln nacheinander Kugeln „gezogen“ werden. Als Beispiel für den zweiten Fall kann man eine Meinungsumfrage ansehen, wobei jede Frage eine Stufe des Zufallsexperiments ist (also etwa erste Stufe: „Lieblingsshampoo“, zweite Stufe: „Geschlecht“, dritte Stufe: „Monatseinkommen“.

Achtung: Wie im zweiten Beispiel zu sehen, müssen die einzelnen Stufen eines mehrstufigen Zufallsexperiments nicht notwendigerweise tatsächlich zeitlich nacheinander ablaufen, sie müssen nur eindeutig voneinander abgegrenzt sein.

Das klassische Mittel zur Untersuchung eines mehrstufigen Zufallsexperiments ist das Baumdiagramm, auch Vierfeldertafeln werden häufig eingesetzt.

Additional Exams

    Wahrscheinlichkeitsrechnung (1)

    Aufgabe 1

    Mit einem Laplace-Würfel wird einmal gewürfelt. Betrachte folgende Ereignisse:

    A = {Augenzahl ist 3}

    B = {Augenzahl ist gerade}

    C = {Augenzahl ist größer als 1}

    D = {Augenzahl ist nicht gerade und keine Primzahl}

    E = {Augenzahl teilt die Zahl 60 ohne Rest}

    1. Berechne P(\(A\)), P(\(B\)), P(\(C\)), P(\(D\)), P(\(E\)).
    2. Berechne P(\(A \cap B\)), P(\(B \cap C\)), P(\(B \cup C\)).
    3. Berechne P(\(\overline{A} \cap \overline B \cap \overline{C}\)).
    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  7

    Aufgabe 2

    Ein Passwort besteht aus der vierstelligen Eingabe Großbuchstabe–ZifferGroßbuchstabeZiffer.

    1. Wie viele unterschiedliche Passwörter gibt es?
    2. Wie kannst du die Anzahl der Passwörter erhöhen, wenn es bei einer vierstelligen Eingabe bleiben soll?
    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  5 Minuten
    • Punkte:  3

    Aufgabe 3

    13 Schüler der Klasse 9b sind Jungen. 25 der Schüler sind Mitglied in einer AG, 11 davon sind Jungen. 3 Mädchen sind nicht in einer AG.

    1. Stelle eine Vierfeldertafel auf.
    2. Wie viele Schüler sind insgesamt in der Klasse?
    3. Wie viele Schüler sind nicht in einer AG?
    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 4

    Eine Urne enthält eine rote Kugel, 4 weiße Kugeln und 5 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen.

    1. Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment.
    2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel und eine schwarze Kugel gezogen wird.
    3. Wie wahrscheinlich ist es, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?
    4. Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten \(P(rot;\overline{rot})\) und \(P(\overline{rot};rot)\).
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 5

    Für das Schulfest hat sich die Klasse 9b ein Glücksspiel ausgedacht, um die Klassenkasse aufzubessern. Aus 2 identischen Stapeln mit jeweils 5 Karten (Ass, König, Dame, Bube, 10) darf der Spieler jeweils eine Karte ziehen. Hat der Spieler 2 gleiche Karten, so hat er gewonnen. Hat der Spieler unterschiedliche Karten, so hat er verloren. Die Kombination (Ass; Ass) ist ein Hauptgewinn. Alle anderen Paare sind Kleingewinne. Ein Spiel kostet 1 Euro. Die Klasse hat die Gewinne mit Geld aus der Klassenkasse bezahlt. Ein Hauptgewinn hat den Wert 8 Euro, ein Kleingewinn hat den Wert 2 Euro. Es wurden 7 Hauptgewinne und 20 Kleingewinne gekauft. Die Klasse will den Glücksspielstand schließen, wenn es keinen Hauptgewinn bzw. keine Kleingewinne mehr gibt.

    1. Wie viele Spiele wird es voraussichtlich geben?
    2. Mit welchem Gewinn kann die Klasse 9b pro Spiel rechnen?
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 6

    Ca. 8 % aller Schüler und Schülerinnen einer Schule schreiben beim Erstellen von Referaten einfach aus dem Internet ab (Plagiat). Bei der Kontrolle durch den Lehrer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % ein abgeschriebenes Referat erkannt und aussortiert. Ein nicht abgeschriebenes Referat wird leider in 2 % der Fälle als Plagiat aussortiert.

    1. Erstelle ein geeignetes Baumdiagramm, das das oben beschriebene Zufallsexperiment darstellt.
    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Referat ein Plagiat, wenn es aussortiert wurde?

    Wahrscheinlichkeitsrechnung (2)

    Aufgabe 1

    Zwei Würfel werden geworfen. Die Würfel haben folgende Netze:

    mehrstufige Zufallsexperimente - Abbildung 1mehrstufige Zufallsexperimente - Abbildung 2

    1. Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? Gib die Wahrscheinlichkeit an.
    2. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch?
    3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme höchstens 4?
    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  6

    Aufgabe 2

    Eine Zeitungsredaktion mit 5 Journalisten und einem Redakteur geht immer zum Mittagessen in eine Pizzeria und setzt sich an einen Tisch mit 6 Stühlen. Leider können sie sich nie über die Sitzordnung einigen, da keiner von ihnen an der Tür zur Küche sitzen will. Der Wirt ist genervt und macht folgendes Angebot: Die Zeitungsleute sollen jedes Mal die Sitzordnung verändern. Wenn sie alle möglichen Sitzordnungen einmal durchprobiert haben, bekommen sie ein komplettes Essen mit Getränken gratis. Wie viele Sitzkombinationen müssen sie ausprobieren? Was hältst du von diesem Angebot?

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  6 Minuten
    • Punkte:  3

    Aufgabe 3

    Von einem Zufallsexperiment sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:

    \(P(A)=0,5\)
    \(P(B)=0,4\)
    \(P(\overline A \cap \overline B)=0,2\)

    Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P( \overline{A})\), \(P( \overline{B})\)\(P(A \cap B)\) und \(P(A \cup B)\) mithilfe einer Vierfeldertafel.

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  6

    Aufgabe 4

    Dr. Haus hat einen Test zur Feststellung einer Krankheit entwickelt. Dieser erkennt Krankheiten mit einer Wahrscheinlichkeit von \(99,5\ \%\) (d. h., der Test erkennt die Krankheit richtig) und hat bei \(99,5 \ \%\) der gesunden Probanden ein negatives Ergebnis (d. h., der Test zeigt, dass diese Krankheit hier nicht vorliegt).

    Angenommen, jeder 500. Einwohner eines Landes ist erkrankt. Wie groß ist bei einem positiven Testergebnis die Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben?

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  6

    Aufgabe 5

    Aus einer Urne mit 6 Kugeln, die von 1 bis 6 nummeriert sind, wird eine Kugel gezogen.

    1. Zeige, dass die Ereignisse A = {Zahl hat mindestens den Wert 4} und B = {Zahl ist Teiler von 25} voneinander stochastisch unabhängig sind.
    2. Gib ein mögliches Ereignis C an, für das \(P(C)=\frac{2}{3}\) gilt und das von A ebenfalls stochastisch unabhängig ist.
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  4

    Aufgabe 6

    Jim und Boris wollen gegeneinander Tennis spielen. Wer zuerst 2 Sätze gewonnen hat, gewinnt das Spiel. Boris hält sich für den besseren Spieler und gibt Jim einen Satz Vorsprung. Boris sagt, dass jetzt die Chancen 50 : 50 seien. Von welcher Wahrscheinlichkeit für einen eigenen Satzgewinn geht Boris aus?

    • Schwierigkeitsgrad:  2 3
    • Zeit:  7 Minuten
    • Punkte:  5

    Zufall und Wahrscheinlichkeit (1)

    Aufgabe 1

    Ein Würfel wird geworfen. 

    1. Bestimme die Ergebnismenge Ω.
    2. Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen:
       – Ereignis A: „Augenzahl ist gerade.“
       – Ereignis B: „Augenzahl ist 2 oder 3.“
       – Ereignis C: „Augenzahl ist kleiner als 4.“
    3. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse A, B und C.
    4. Formuliere die Gegenereignisse zu den Ereignissen B und C. Notiere jeweils die Ergebnisse, die für das Eintreffen dieser Gegenereignisse günstig sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse zu B und C. 
    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  12 Minuten
    • Punkte:  7

    Aufgabe 2

    Es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen.

    1. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Notiere die Ergebnisse des Würfelns mit Würfel \(W_{1}\) und \(W_{2}\) in der Form (\(w_{1};\;w_{2}\)), also z. B. (2; 5).
    2. Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des genannten Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen:
       – Ereignis A: „Augensumme ist 3.“
       – Ereignis B: „Augensumme ist größer als 9.“
       – Ereignis C: „Augensumme ist kleiner als 2.
    3. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse aus b).
    4. Berechne möglichst geschickt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D: „Augensumme ist kleiner als 10.“
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  15 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 3

    Bei einem Brettspiel gibt es verschiedene Zugmöglichkeiten. Man muss zunächst das abgebildete Glücksrad drehen und anschließend einen Würfel werfen. 

    mehrstufige Zufallsexperimente - Abbildung 3

    1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm. 
    2. Wie viele verschiedene Ergebnisse kann es geben?
    3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis A?
    4. In der Spielanleitung steht folgende Regel: „Bei grün und einer Augenzahl größer als 2 darfst du eine Karte ziehen“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Ereignis (D) ein?
    5. Betrachte das Ereignis E: „Bei einer 6 darf man noch einmal würfeln“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nicht noch einmal würfeln darf? 
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  17 Minuten
    • Punkte:  5

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