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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du verschachtelte Funktionen integrierst

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{20x}{x^2-25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Wie du verschachtelte Funktionen integrierst - Abbildung 1

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x=10\) und \(x=s\) mit \(s>10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimme \(A(s)\).

[Ergebnis: \(A(s)=10\cdot\ln\left(\frac{s^2-25}{75}\right)\)]

Schritt 1: Prüfen, ob einer der beiden Spezialfälle der Integration vorliegt

Die beschriebene Fläche liegt oberhalb der \(x\)-Achse, ist also gleich dem Integral:

\(\begin{align*} \int\limits_{10}^sf(x)\mathrm{d}x \end{align*}\)

Wie du verschachtelte Funktionen integrierst - Abbildung 2

Wie immer beim Integrieren brauchst du eine Stammfunktion des Integranden, also von \(f\). Da \(f\) keine Standardfunktion ist, kannst du nicht in einer Tabelle eine Stammfunktion nachschlagen, sondern musst zuerst prüfen, ob einer der beiden folgenden Spezialfälle vorliegt.

1. Fall: Der Integrand ist ein Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung vom Nenner ist, also \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) für irgendeine Funktion \(g\). Dann ist eine Stammfunktion durch \(x\longmapsto\ln|g(x)|\) gegeben.

2. Fall: Der Integrand ist ein Produkt der Form \(g'(x)\cdot e^{g(x)}\) für irgendeine Funktion \(g\). Dann ist \(x\longmapsto e^{g(x)}\) eine Stammfunktion.

Bei dieser Aufgabe ist \(f(x)=\frac{20x}{x^2-25}\) ein Bruch und die Ableitung des Nenners ist \(2x\). Das ist zwar nicht ganz der Zähler, aber fast: Der Unterschied ist nur ein Faktor 10, von dem du dich im nächsten Schritt befreien kannst.

Schritt 2: Art der Verschachtelung erkennen

In typischen Abituraufgaben kommen die folgenden drei Verschachtelungen vor: Du hast zu einer Funktion \(g\) eine Stammfunktion \(G\) (z. B. aus einer Tabelle), aber

  1. der Integrand ist \(\lambda\cdot g(x)\) mit irgendeiner Zahl \( \lambda\). Dann ist \(\lambda\cdot G\) eine Stammfunktion (Faktorregel).
  2. der Integrand ist \(g(ax+b)\) für irgendwelche Zahlen \(a\) und \(b\). Dann ist \(x\longmapsto\frac{1}{a}G(ax+b)\) eine Stammfunktion (Regel der linearen Substitution).
  3. der Integrand ist eine Summe oder Differenz von zwei Funktionen \(g(x)\pm h(x)\), wobei du von \(h\) eine Stammfunktion \(H\) kennst oder bestimmen kannst. Dann ist \(G\pm H\) eine Stammfunktion (Summenregel).

In Schritt 1 haben wir festgestellt, dass wir bis auf den Faktor \( \lambda=10\) eine Stammfunktion des Integranden bestimmen können, das heißt, wir können hier die Faktorregel gebrauchen.

Schritt 3: Verschachtelung auflösen

Der Integrand ist hier \(f(x)=\frac{20x}{x^2-25}=10\cdot\frac{2x}{x^2-25}=10\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2-25\). Laut dem ersten in Schritt 1 erwähnten Spezialfall ist durch \(x\longmapsto\ln|g(x)|\) eine Stammfunktion von \( \frac{g'(x)}{g(x)}\) gegeben und laut der Faktorregel (erster Verschachtelungstyp in Schritt 2) ist daher durch \(F(x)=10\cdot\ln|g(x)|=10\cdot\ln\left|x^2-25\right| \) eine Stammfunktion von \(f\) gegeben.

Schritt 4: Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen und rechnen

Das Integral

\(\begin{align*} \int\limits_{10}^sf(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{10}^s\frac{20x}{x^2-25}\mathrm{d}x \end{align*}\)

kannst du jetzt genauso berechnen, wie wenn der Integrand eine Standardfunktion ist; du brauchst dazu nur die in Schritt 3 bestimmte Stammfunktion des Integranden. In diese setzt du zuerst die obere Integrationsgrenze ein und ziehst davon den Wert von \(F\) an der unteren Grenze ab:

\(\begin{align*} \color{green}{\int\limits_{10}^sf(x)\mathrm{d}x}=\left[F(x)\right]_{10}^s\color{green}{=F(s)-F(10)} \end{align*}\)

Nun ist \(F(s)=10\cdot\ln\left|s^2-25\right|\) und \(F(10)=10\cdot\ln\left|10^2-25\right|=10\ln(75)\). Eingesetzt in die grüne Gleichung liefert das:

\(\begin{align*} \int\limits_{10}^sf(x)\mathrm{d}x=10\cdot\ln\left|s^2-25\right|-10\ln(75) \end{align*}\)

Den Faktor 10 kannst du ausklammern und die Differenz

\(\begin{align*}
\ln\left|s^2-25\right|-\ln(75)=\ln\left(\frac{\left|s^2-25\right|}{75}\right)
\end{align*}\)

mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen vereinfachen. Somit ergibt sich die Lösung:

\(\begin{align*}
A=\ln\left(\frac{\left|s^2-25\right|}{75}\right)
\end{align*}\)

Die Fläche \(A\) beträgt also \(\ln\left(\frac{\left|s^2-25\right|}{75}\right)\) Flächeneinheiten.

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