Differenzialrechnung – Lexikoneinträge
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In der Differenzialrechnung gibt die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 an, wie steil die Tangente an die Funktion in diesem Punkt verläuft, genauer gesagt deren Steigung m t . Dies ist genau dann möglich, wenn die Funktion f an dieser Stelle differenzierbar ist. Ist sie in einem Intervall bzw. im gesamten Definitionsbereich differenzierbar, dann ist die Ableitung der Funktion f dort selbst eine Funktion, die man \(f'\) („f Strich“) nennt, besonders in der Physik auch \(f'(x) \equiv \dfrac {\text d f}{\text d x} = \dfrac {\text d}{\text d x}f(x)\) („d f nach d x“). Die Ableitung...
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Die Analysis ist neben Geometrie , Algebra („Rechnen mit Zahlen und Buchstaben“) und Stochastik („Daten und Wahrscheinlichkeiten“) eines der vier großen Themengebiete der Schulmathematik. Vereinfacht gesagt ist die Analysis (das Wort ist griechisch und heißt so viel wie „(Auf-)Lösung“) die Lehre von den Funktionen . Diese haben in der Regel reelle Argumente und Werte, nur Zahlenfolgen bilden natürliche Zahlen auf reelle Werte ab. Das Teilgebiet der Differenzialrechnung untersucht, wie stark sich die Funktionswerte verändern, wenn man das Argument etwas variiert, und zwar mithilfe von sog...
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Die Ableitung einer Funktion kann man als ihre Änderungsrate interpretieren, wie sich direkt an dem Differenzenquotienten bzw. an dessen Grenzwert , dem Differenzialquotieten ablesen lässt: \(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\text d f(x)}{\text d x}\) Der Differenzen- bzw. Differenzialkoeffizient ist definiert als das Verhältnis aus Änderung der Funktionswerte ( \(\Delta f(x)\) bzw. d f ( x )) und Änderung der x -Werte ( \(\Delta x\) bzw. d x ). Je größer aber \(\Delta f(x)\) bei festem \(\Delta x\) is...
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Bei der Kettenregel \((u \circ v)'(x_0) = u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)\) ist die äußere Ableitung die Ableitung der als zweites angewendeten Funktion u nach der „inneren“ Funktion \(v\) .
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Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_0 \in Df\) kann man sich bildlich als den Grenzwert der Sekantensteigungen vorstellen, wenn man den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten von Funktionsgraph und Sekante gegen null gehen lässt. Die Sekantensteigung m s ist definiert als \(m_\text s = \dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac {\Delta f(x)}{\Delta x}\) und wird als Differenzenquotient bezeichnet. Lässt man x gegen x 0 gehen, wird die Sekantensteigung zur Tangentensteigung m t , also zur Steigung der Tangente an G f im Punkt P 0 ( x 0 | f ( x 0 ) ) und der Differenzenquotient wird...
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Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl eine Funktion als auch ihre Ableitung(en) vorkommen. Sie stellt also nicht eine Anforderung an eine bestimmte Zahl dar, welche die Lösung einer „normalen“ Gleichung ist, sondern an eine Funktion , für die eine bestimmte Beziehung zwischen ihr und ihrer Ableitung gelten soll. Deshalb sind die Lösungen von Differenzialgleichung immer Funktionen. Der allgemeine Fall einer Differenzialgleichung ist normalerweise kein Schulstoff (und wirklich kompliziert!). Es gibt aber, vor allem in der Physik, einfache Beispiele, an denen man zumindest...
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Die Differenzialrechnung ist, einfach ausgedrückt, der Teil der Analysis , der sich mit Ableitungen von Funktionen beschäftigt. Die Bezeichnung kommt daher, dass die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion bei einem gegebenen x -Wert definiert ist. Die Differenzialrechnung ist ein mächtiges Instrument bei der Untersuchung von gegebenen Funktionen oder bei der mathematischen Modellierung von realen Sachverhalten durch Funktionen. Typische Aufgaben sind die Untersuchung von Funktionsgraphen im Achsenkreuz, die sog. Kurvendiskussion , das Aufstellen einer Polynomfunktion...
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Eine Funktion ist an einer Stelle x 0 differenzierbar , wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existieren und übereinstimmen: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\) Beispiele: f ( x ) = x 2 ist an jeder Stelle x 0 differenzierbar, weil \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0 = f'(x_0)\) f ( x ) = | x | ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, weil \(\displaystyle...
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An einer Extremstelle nimmt eine Funktion den größten bzw. kleinsten Wert in einer Umgebung U ( x 0 ) oder einem Intervall ( lokales oder relatives Extremum ) oder aber sogar auf dem gesamten Definitionsbereich D f ( globales oder absolutes Extremum ) an. (Statt Extremum kann man auch Extremwert sagen.) Im Einzeln gilt: Wenn für alle \(x \in U(x_0)\) gilt, dass \(f(x) \ge f(x_0)\) , dann liegt an der Stelle x = x 0 ein lokales ( relatives ) Minimum vor und der Punkt T ( x 0 | f ( x 0 ) ) ist ein lokaler ( relativer ) Tiefpunkt . Wenn für alle \(x \in U(x_0)\) gilt, dass \(f(x) \le f(x_0)\) ...
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Bei Extremwertaufgaben sucht man mithilfe der Differenzialrechnung möglichst große oder kleine Werte von interessierenden Größen, z. B. das kleinstmögliche Volumen eines Paketstapels, die größte Weite eines Ballwurfs oder der schnellste Weg zu einem Nichtschwimmer, der in den Badesee gefallen ist. Man nennt so etwas auch ein Optimierungsproblem . ▶ Allgemeines Vorgehen „Mathematische“ Formulierung der Aufgabe: Alltagssprachliche Begriffe in mathematische übersetzen, beschriftete Skizze , gegebene Größen und Nebenbedingungen auflisten Funktionsgleichung für die optimierende Größe in...
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Die Faktorregel ( Produktregel ) ist die Ableitungsregel für das Produkt zweier Funktionen f , g : \((f \cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)
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Wenn man Schwierigkeiten hat, die Ableitung einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, kann man auf folgendem Weg einen Näherungswert am Funktionsgraphen ablesen, was man dann „ grafisch ableiten “ bzw. „ differenzieren “ nennt. Man zeichnet den Funktionsgraphen möglichst genau (oder stellt ihn am Bildschirm oder am Drucker dar). An allen interessierenden Punkten wird eine Tangente an den Funktionsgraph gelegt, also eine Gerade, die ihn nur in genau diesem Punkt berührt. Per Steigungsdreieck wird die Steigung der Tangente berechnet, diese entspricht dem Wert der ersten Ableitung der Funktion im...