Logarithmus – Lernwege
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Was sind Exponentialgleichungen?
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Logarithmus – Klassenarbeiten
Logarithmus – Lexikoneinträge
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Die irrationale Euler’sche Zahl e = 2,718.281.284.590.45… ist die Basis des natürlichen Logarithmus ln x = log e x bzw. der natürlichen Exponentialfunktion e x . Sie ist nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler benannt. Sie ist auch der Grenzwert der Zahlenfolge \(\displaystyle \left( \left[1 + \frac{1}{n} \right]^n \right)\) , also \(\displaystyle \text e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\) , sowie der unendlichen Reihe der inversen Fakultäten : \(\displaystyle \text e = \sum_{n =0}^\infty \frac{1}{n!} \) .
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Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Regeln, die sog. Logarithmensätze : 1. Ein logarithmiertes Produkt wird zur Summe der Logarithmen der Faktoren: log a ( x · y ) = log a x + log a y 2. Ein logarithmierter Bruch wird zur Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner: \(\displaystyle \log_a \left( \frac x y \right) = \log_a x - \log_y\) 3. Eine logarithmierte Potenz wird zum Produkt aus Exponent und Logarithmus der Basis der Potenz: log a ( x y ) = y · log a x bzw. \(\displaystyle \log_a \left( x^{\frac y z } \right) = \frac y z \cdot \log_a x\) Für Wurzelausdrücke...
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Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige reelle Zahl r , mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. x wird dabei auch der Numerus genannt. Man schreibt dies \(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x \ \ (a \in \mathbb R^+\! \setminus \{1\}, \ x \in \mathbb R^+)\) und liest „Logarithmus von x zur Basis a “. Aus der Definition ergeben sich drei Sonderfälle : log a a = 1, da a 1 = a , log a 1 = 0, da a 0 = 1, log a a c = c , da a c = a c . Beispiele: log 2 8 = 3, da 2 3 = 8 , \(\displaystyle \log_4 \frac{1}{16} = - 2,\) da \(\displaystyle 4^{ - 2} = \frac{1}{4^2...