Abbildungen – Lexikoneinträge
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Affine Abbildungen sind eine Erweiterung des Begriffs der Ähnlichkeitsabbildung . Jede affine Abbildung ist geradentreu ( Geraden werden auf Geraden abgebildet) parallelentreu ( Parallelen bleiben parallel) teilverhältnistreu (Wenn ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k teilt, dann teilt der Bildpunkt \(X'\) die Strecke \(A'B'\) in demselben Verhältnis k ) Alle Ähnlichkeitsabbildungen und damit auch alle Kongruenzabbildungen sind affin. Es gibt aber affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind, etwa die sog. Scherungen . Bei einer Scherung wird ein...
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In der Geometrie sind Figuren oder Körper einander ähnlich , wenn sie – umgangssprachlich gesprochen – die gleiche Form haben, aber möglicherweise unterschiedlich groß sind. Formal bedeutet Ähnlichkeit , dass man zwei Figuren (Körper) durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abbilden kann. Ähnlichkeitsabbildungen sind alle Kongruenzabbildungen , also Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen, und dazu zentrische Streckungen sowie alle Kombinationen der genannten Abbildungen. Das bedeutet, dass alle kongruenten Figuren (Körper) auch ähnlich, aber nicht alle ähnlichen Objekte auch kongruent...
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Ähnlichkeitsabbildungen sind die Erweiterung der Bewegungen bzw. Kongruenzabbildungen um die Gruppe der zentrischen Streckungen . Man kann also mit einer Ähnlichkeitsabbildung zwei Figuren bzw. Körper zur Deckung bringen, indem man sie spiegelt , verschiebt , dreht und außerdem maßstäblich vergrößert oder verkleinert . Wenn das bei zwei Figuren oder Körpern möglich ist, sagt man, sie seien einander ähnlich . Ähnlichkeitsabbildungen lassen Winkel und Verhältnisse von einander entsprechenden Seiten, Flächeninhalten und Volumina unverändert. Geraden werden bei Ähnlichkeitsabbildungen immer auf...
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Eine mathematische Zuordnung ( Relation ) oder Abbildung heißt eindeutig , wenn jedem Element der Definitionsmenge bzw. des Urbilds X höchstens ein Element der Wertemenge (Zielmenge) bzw. des Abbilds Y zugewiesen wird. Anders ausgedrückt: Kein \(x \in X\) wird zwei (oder mehr) verschiedenen Elementen aus Y zugeordnet. Eine eindeutige Zuordnung nennt man eine Funktion . Eine Funktion hat also nie zwei verschiedene Funktionswerte zum selben x – darum kann ein Vollkreis nicht der Graph einer Funktion sein, denn dort würden fast jedem x innerhalb des Definitionsbereichs ein oberer und ein unterer...
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Ein Fixpunkt ist ein Punkt im Raum (oder auch in der Ebene), der bei einer geometrischen Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, also unverändert bleibt. Beispiele dafür sind das Spiegelzentrum einer Punktspiegelung oder der Drehpunkt bei einer Rotation ( Drehung ). In der Analytischen Geometrie beschreibt man lineare Abbildung zwischen Vektoren mithilfe von Abbildungsmatrizen , dort ist ein Fixpunkt ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
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Eine lineare Abbildung f ist, ganz allgemein gesprochen, eine Abbildung zwischen Zahlen oder anderen Objekten, die man addieren und mit Zahlen multiplizieren kann (siehe unten) und bei der „ f (Objekt1 + Objekt2) = f (Objekt1) + f (Objekt2)“ gilt. Wenn man einfache Zahlen betrachtet, ist eine lineare Abbildung eine proportionale Zuordnung . Lineare Funktionen sind damit eng verwandt, aber streng genommen nicht ganz dasselbe. In der Analytischen Geometrie bilden lineare Abbildungen Figuren oder Körper längentreu aufeinander ab, alle Abstände bleiben also gleich groß. Für Vektoren bedeutet dass...
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Eine Punktspiegelung ist eine eineindeutige geometrische Abbildung in der Ebene oder im Raum. Man kann sie auf zwei Weisen betrachten: entweder als Spiegelung an einem Punkt Z , dem Spiegelzentrum. Für jeden abgebildeten Punkt P (z. B. jede Ecke eines Dreiecks) liegt das Spiegelbild, d. h. das Abbild unter dieser Punktspiegelung, auf einer Geraden durch P und Z , und zwar im selben Abstand, jedoch auf der anderen Seite (siehe Grafik). oder als eine Drehung um den Punkt Z , und zwar um den gestreckten Winkel 180° (im Bogenmaß : \(\pi\) ). Formal kann man eine Punktspiegelung an Z so definieren...
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Unter einer Verschiebung (auch: Parallelverschiebung oder Translation ) versteht man in der Geometrie eine eineindeutige Abbildung , die alle Punkte der Ebene oder des Raums gleich weit und in die gleiche Richtung verschiebt (daher der Name). Wenn man zehn Äpfel alle um genau einen Meter nach Norden verrückt, ist das eine Verschiebung. Würde man einen Apfel nur um 90 cm verrücken oder die Hälfte der Äpfel einen Meter nach Norden, die andere Hälfte aber einen Meter nach Nordwest, wären das keine geometrischen Verschiebungen . Offensichtlich verändern sich die Abstände zwischen Punkten , Figuren...
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Der Begriff Zuordnung ( Relation ) wird in der Mathematik und speziell in der Schule nicht ganz einheitlich gebraucht. Manchmal ist damit einfach ein anderes Wort für Funktion gemeint (siehe unten), meist aber geht es eine ganz allgemeine Abbildung zwischen den Elementen zweier Mengen X und Y . In der Regel hat man es dabei mit Zahlenmengen zu tun. Man kann drei Fälle unterscheiden: Mehrdeutige Zuordnung : Jedem Element x aus der Urbildmenge oder Ausgangsmenge X können beliebig viele Elemente der Bildmenge oder Zielmenge Y zugeordnet werden ( in der Abbildung links ). Eindeutige Zuordnung...