Kraftzerlegung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

Jens zieht im flachen Schnee einen Schlitten hinter sich her. Dabei wendet er auf das Seil unter einem Winkel von \(\alpha = 45°\) eine Zugkraft von \(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\) auf.

1. Bestimme die zur Fahrtrichtung senkrechte und parallele Komponente der Zugkraft.
2. Jens kann maximal mit einer Kraft von \(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\) am Schlitten ziehen. Während er durch den Schnee stapft, trifft er drei seiner Freunde. Die möchten mitfahren und setzen sich auf den Schlitten. Er versucht am Schlitten zu ziehen - doch jetzt er kommt nicht mehr vorwärts. Das liegt daran, dass sich die Masse, die gezogen werden soll, durch die Freunde erhöht hat. Um den Schlitten jetzt in Bewegung zu setzen, muss Jens eine Kraft von mindestens \(175 \thinspace \text{N}\) in Fahrtrichtung aufbringen. Was muss er machen, um diese Kraft zu erreichen?

Teilaufgabe a

Bestimme die zur Fahrtrichtung senkrechte und parallele Komponente der Zugkraft.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Als Erstes musst du dir überlegen, was gegeben und was gesucht ist. Lies dir dazu die Aufgabe genau durch und schreibe alle wichtigen Informationen heraus. In dieser Aufgabe ist die Kraft, die Jens auf das Seil ausübt, und der Winkel zwischen Seil und Fahrtrichtung gegeben:

\(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\)

\(\alpha = 45°\)

Gesucht sind die parallele und senkrechte Komponente der Zugkraft:

\(F_p\)

\(F_s\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Auf die richtige Formeln für die senkrechte und parallele Komponente der Zugkraft kommst du, wenn du dir das Kräfteparallelogramm dazu anschaust:

Jetzt erkennst du, dass sich ein Dreieck ergibt, bei dem die Zugkraft \(F_{Seil}\) die Hypotenuse, also die längste Seite, ist. Die beiden Komponenten der Kraft \(F_p\) und \(F_s\) entsprechen den beiden Katheten. Außerdem weißt du aus dem Text, dass der Winkel \(\alpha\) zwischen Fahrtrichtung und Seil liegt. 

Weil du hier den Winkel \(\alpha\) und die Hypotenuse \(F_{Seil}\) gegeben haben, stellst du am besten die Formeln für den Sinus und den Kosinus auf:

\(\begin {align} \frac{\color{red}{F_p}}{F_{Seil}} =\cos⁡α \\ \frac{\color{red}{F_s}}{F_{Seil}} = \sin⁡α \end {align}\)

So hast du jeweils zwei Formeln mit jeweils nur einer unbekannten Größe darin. Das ist gut, denn eine Gleichung mit nur einer Unbekannten kannst immer direkt nutzen, um die unbekannte Größe zu bestimmen.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Die beiden Gleichungen stellst du nun nach den beiden gesuchten Komponenten der Zugkraft um. Dafür musst du die beiden Gleichungen nur mit der Hypotenuse \(F_{Seil}\) multiplizieren:

\(\begin{align} \frac{\color{red}{F_p}}{F_{Seil}} &= \cos⁡α && |\cdot F_{Seil}\\[6pt] \color{red}{F_p} &= F_{Seil} \cdot \cos{\alpha} \end{align}\)

Mit der gleichen Umformung kannst du auch die zweite Gleichung nach \(F_s\) auflösen:

\(\begin{align} \frac{\color{red}{F_s}}{F_{Seil}} &= \sin{α} && |\cdot F_{Seil}\\[6pt] \color{red}{F_s} &= F_{Seil} \cdot \sin{\alpha} \end{align}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die passenden Einheiten um

Die Zugkraft ist hier in Newton gegeben:

\(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\)

Das ist in Ordnung, denn Newton ist die Standardeinheit für die Kraft und du möchtest hier ja ebenfalls eine Kraft bestimmen.

Den Winkel \(\alpha\) kannst du in Grad in die Sinus- bzw. Kosinusfunktion geben, wenn du dabei beachtest, dass dein Taschenrechner auf „deg” oder „d” eingestellt ist.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Jetzt musst du nur noch alle Werte in die Formeln einsetzen und die Lösung berechnen:

\( \begin {align} \color{red}{F_p}&=F_{Seil} \cdot \cos⁡α=200\text{ N}\cdot \cos⁡45°=200\text{ N} \cdot 0{,}71=141{,}4 \text{ N} \\ \color{red}{F_s}&=F_{Seil} \cdot \sinα=200 \text{ N}\cdot \sin45°=200\text{ N} \cdot 0{,}71=141{,}4 \text{ N} \end {align}\)

Teilaufgabe b

Jens kann maximal mit einer Kraft von \(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\) am Schlitten ziehen. Während er durch den Schnee stapft, trifft er drei seiner Freunde. Die möchten mitfahren und setzen sich auf den Schlitten. Er versucht am Schlitten zu ziehen - doch jetzt er kommt nicht mehr vorwärts. Das liegt daran, dass sich die Masse, die gezogen werden soll, durch die Freunde erhöht hat. Um den Schlitten jetzt in Bewegung zu setzen, muss Jens eine Kraft von mindestens \(175 \thinspace \text{N}\) in Fahrtrichtung aufbringen. Was muss er machen, um diese Kraft zu erreichen?

Schritt 1: Finde was gegeben und gesucht ist

Im zweiten Aufgabenteil ist wieder die Zugkraft gegeben, die Jens aufbringen kann. Außerdem ist die Kraft in Fahrtrichtung erwähnt, die benötigt wird, um den Schlitten mit den drei Freunden in Bewegung zu setzen. Die Kraft in Fahrtrichtung ist die parallele Kraftkomponente \(F_p\). Gegeben sind also diese Größen:

\(F_{Seil} = 200 \thinspace \text{N}\)

\(F_{p} = 175 \text{ N}\)

Aus Aufgabe a) weißt du ja, dass Jens vorher eine parallele Kraft von \(F_{p} = 141{,}4 \text{ N}\) erreicht hat. Das ist jetzt aber nicht mehr genug, um den Schlitten zu bewegen. Deshalb musst du dir überlegen, was Jens tun kann, um \(F_p\) zu erhöhen und so auf die benötigten \(175 \text{ N}\) zu kommen.

Schritt 2: Sammele Stichpunkte

Jens versucht den Schlitten mit einer gewissen Zugkraft \(F_{Seil}\) und unter einem bestimmten Winkel \(\alpha\) durch den Schnee zu ziehen. Wir schauen uns noch einmal die Formel für die parallele Kraftkomponente \(F_p\) aus Teilaufgabe a) an: 

\(F_p = \color{green}{F_{Seil}} \cdot \cos{\color{green}{\alpha}} \)

Weil \(F_{Seil}\) und \(\alpha\) beide in der Formel für \(F_p\) vorkommen, kannst du folgern:

• Die Zugkraft \(F_{Seil}\) und der Winkel \(\alpha\) haben beide einen Einfluss auf die Größe der parallelen Kraftkomponente \(F_p\).

Außerdem wissen wir, dass Jens schon mit seiner maximalen Kraft am Schlitten zieht:

• Die Zugkraft \(F_{Seil}\) können wir also nicht erhöhen, um auf den benötigten Wert von \(F_p\) zu kommen.

Daraus kannst du schließen:

• Jens muss also den Winkel \(\alpha\) verändern, um eine Kraft von \(F_{p} = 175 \text{ N}\) zu erreichen.

Aber muss Jens den Winkel \(\alpha\) vergrößern oder verkleinern? Wenn du dir das Kräfteparallelogramm noch einmal anschaust, dann siehst du, dass ein kleinerer Winkel zu einer größeren parallelen Kraftkomponente führt. Das liegt daran, dass die Projektion der Zugkraft \(F_{Seil}\) in die Fahrtrichtung des Schlittens größer wird, wenn der Winkel schrumpft. Diese Idee wird uns auch durch die Formel für die \(F_p \) bestätigt:

\(F_p = F_{Seil} \cdot {\color{green}{\cos\alpha}} \)

Denn dort steht der Winkel ja im Kosinus. Und wie du weißt, hat der Kosinus sein erstes Maximum bei einem Winkel von \(0°\). So kommst du also zu dieser Schlussfolgerung:

• Jens muss den Winkel \(\alpha\) zwischen Zugrichtung und Fahrtrichtung verkleinern, um die Kraft in Fahrtrichtung zu erhöhen.

Schritt 3: Berechne die entscheidende Größe

Um herauszufinden, auf welchen Wert Jens den Winkel \(\alpha\) mindestens verkleinern muss, lösen wir die Formel für die parallele Kraftkomponente nach dem Winkel auf. Dazu bringen wir zuerst \(F_{Seil}\) auf die andere Seite und wenden dann den Arkuskosinus (Umkehrfunktion des Kosinus) an:

\(\begin{align} F_p &= F_{Seil} \cdot { \cos\color{red}{\alpha}} && |:F_{Seil} \\[6pt] \cos{\color{red}{\alpha}} &= \frac{F_p}{F_{Seil}} && |\arccos \\ \color{red}{\alpha} &= \arccos{ \frac{F_p}{F_{Seil}}} \end{align}\)

Nun kannst du die Zugkraft \(F_{Seil}\) und die minimal notwendige, parallele Kraftkomponente \(F_p\) einsetzen und den Winkel berechnen:

\(\begin{align} \color{red}{\alpha} &= \arccos{ \frac{F_p}{F_{Seil}}} \\[6pt] \color{red}{\alpha} &= \arccos{ \frac{175\text{ N}}{200\text{ N}}} \\[6pt] \color{red}{\alpha} &= \arccos{ 0{,}875} \\ \color{red}{\alpha} &\approx 29{,}0° \end{align}\)

Schritt 4: Formuliere eine Antwort

Um den Schlitten mit seinen drei Freunden darauf mit einer Zugkraft von \(200\text{ N}\) in Bewegung setzen zu können, muss Jens den Winkel \(\alpha\) zwischen dem Seil und der Fahrtrichtung auf mindestens \(29{,}0°\) verringern.

Lösung

a) Die parallele und die senkrechte Komponente der Zugkraft betragen \(F_{p} = F_{s} = 141{,}4 \text{ N}\).

b) Jens muss den Winkel zwischen Seil und Fahrtrichtung auf mindestens \(\alpha = 29{,}0°\) verkleinern, um die notwendige Kraft in Fahrtrichtung aufbringen zu können.