Eigenschaften von Wellen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

1.  Rebecca und Alex stehen früh auf und werfen einen Blick aus dem Fenster auf das Meer. Die Wellenberge sind hoch, der Wind weht vom Landesinneren auf das Meer hinaus – das sieht nach guten Surfbedingungen aus. Am Strand angekommen, paddeln die beiden auf ihren Surfboards hinter den Punkt, an dem die Wellen brechen, und zählen die Wellen. In \(2{,}5 \) Minuten ziehen \(10\) Wellen unter ihnen vorbei. Sie wissen, dass sie einen guten Surftag erwischt haben, wenn die Periodendauer der Wellen \(14 \text{ s}\) oder mehr beträgt. Ist diese Bedingung erfüllt? Berechne zusätzlich die Frequenz und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, wenn der Abstand zwischen zwei Wellenbergen \(18 \text{ m} \) beträgt.

2. Ein Stein wird ins Wasser geworfen und produziert eine kreisförmige Wasserwelle. Das folgende Diagramm zeigt die Auslenkung der Welle am Einschlagspunkt des Steins als Funktion der Zeit. Um welche Art von Schwingung handelt es sich hier? Bestimme, um wie viel Prozent die Amplitude nach der ersten Periode im Vergleich zum Anfang abgenommen hat.

   

Teilaufgabe a

Rebecca und Alex stehen früh auf und werfen einen Blick aus dem Fenster auf das Meer. Die Wellenberge sind hoch, der Wind weht vom Landesinneren auf das Meer hinaus – das sieht nach guten Surfbedingungen aus. Am Strand angekommen, paddeln die beiden auf ihren Surfboards hinter den Punkt, an dem die Wellen brechen, und zählen die Wellen. In \(2{,}5 \) Minuten ziehen \(10\) Wellen unter ihnen vorbei. Sie wissen, dass sie einen guten Surftag erwischt haben, wenn die Periodendauer der Wellen \(14 \text{ s}\) oder mehr beträgt. Ist diese Bedingung erfüllt? Berechne zusätzlich die Frequenz und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, wenn der Abstand zwischen zwei Wellenbergen \(18 \text{ m} \) beträgt.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Aus dem Aufgabentext kannst du herauslesen, wie viele Wellen in welcher Zeit von Rebecca und Alex gezählt werden. Außerdem kennst du den Abstand zwischen zwei Wellenbergen. Dieser Abstand ist die Wellenlänge \(\lambda\), denn zwischen zwei Wellenlängen liegt genau eine Periode.

Damit sind diese Größen gegeben:

\(\Delta T = 2{,}5 \text{ min}\)

\(\Delta N = 10\)

\( \lambda = 18 \text{ m}\)

Du sollst nun prüfen, ob die Periodendauer \(T\) die Bedingung für einen guten Surftag erfüllt. Außerdem ist noch nach der Frequenz \(f\) und der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Wellen gefragt.

Gesucht sind deshalb:

\(T=\,?\)

\(f=\,?\)

\(c=\,?\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Weil hier drei verschiedene Größen gesucht sind, brauchst du auch die drei verschiedenen Formeln für die Periodendauer \(T\), die Frequenz \(f\) und die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\).

Dabei startest du mit der Periodendauer. Diese ergibt sich, wenn du die Zeit durch die Anzahl der Wellen teilst, die in dieser Zeit unter Rebecca und Alex vorbeigezogen sind:

\(T = \frac{\Delta t}{\Delta N}\)

Aus der Periodendauer kannst du immer auch die Frequenz bestimmen. Sie ist nämlich definiert als der Kehrwert der Periodendauer:

\(f = \frac{1}{T}\)

Anschließend berechnest du die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dafür kannst du entweder die Periodendauer nutzen:

\(c = \frac{\lambda}{T}\)

Oder aber du bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Frequenz:

\(c = \lambda \cdot f\)

Beide Wege sind möglich.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Die drei Formeln musst du in diesem Fall nicht umstellen, da sich alle gesuchten Größen bereits allein auf einer Seite der Gleichung befinden:

\(\color{red}{T} = \frac{\Delta t}{\Delta N}\)

\(\color{red}{f} = \frac{1}{T}\)

\(\color{red}{c} = \frac{\lambda}{T}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Da du die Periodendauer mit einem vorgegebenen Wert von \(14 \text{ s}\) (gute Surfbedingung) vergleichen sollst, wäre es sinnvoll, die Periodendauer in der gleichen Einheit zu bestimmen. Nur so kannst du die beiden Werte gut vergleichen. Dafür müssen wir die angegebene Zeit \(\Delta T\) von der Einheit Minuten in die Einheit Sekunden umrechnen. Das kannst du mit einem einfachen Zweisatz erreichen. Dabei startest du mit dem Wissen, dass eine Minute einer Zeit von \(60\) Sekunden entspricht:

\(\begin{align} 1 \text{ min} &= 60 \text{ s} && | \cdot 2{,}5 \\ 2{,}5 \text{ min} &=150 \text{ s} \\ \end{align}\)

Die Zeit ist also \(\Delta t = 2{,}5 \text{ min} = 150 \text{ s}\).

Die Einheiten der anderen gegebenen Größen musst du nicht umrechnen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun kannst du als Erstes die Periodendauer \(T\) in der Einheit Sekunden bestimmen:

\(\begin{align} \color{red}{T} &= \frac{\Delta t}{\Delta N} = \frac{150 \text{ s}}{ 10 } = 15 \text{ s} \\[6pt] \end{align}\)

Diese Periodendauer erfüllt also die Bedingung für einen guten Surftag (Periodendauer \(14\) Sekunden oder mehr). Rebecca und Alex haben also einen sehr guten Tag zum Surfen erwischt und das frühe Aufstehen hat sich gelohnt!

Aus der Periodendauer kannst du sofort die Frequenz bestimmen:

\(\begin{align} \color{red}{f} = \frac{1}{T} = \frac{1}{15 \text{ s}} = \frac{1}{15} \text{ Hz} \\[6pt] \end{align}\)

Als Letztes berechnest du die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle:

\(\begin{align} \color{red}{c} &= \frac{\lambda}{T} =\frac{18 \text{ m}}{15 \text{ s}} = 1{,2} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \end{align}\)

Teilaufgabe b

Ein Stein wird ins Wasser geworfen und produziert eine kreisförmige Wasserwelle. Das folgende Diagramm zeigt die Auslenkung der Welle am Einschlagspunkt des Steins als Funktion der Zeit. Um welche Art von Schwingung handelt es sich hier? Bestimme, um wie viel Prozent die Amplitude nach der ersten Periode im Vergleich zum Anfang abgenommen hat.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

In der zweiten Teilaufgabe kannst du dem Aufgabentext keine Angaben entnehmen. Du erfährst aber, dass es um die Amplitude der Wasserwelle zu Beginn und nach der ersten Schwingungsperiode geht. Diese beiden Amplituden musst du aus dem y-t-Diagramm ablesen.

Die Auslenkung der Wasserwelle beginnt bei einem Minimum, weil der Stein das Wasser beim Eintauchen zunächst nach unten drückt. Du siehst, dass die Auslenkung der Schwingung immer kleiner wird – es handelt sich also um eine gedämpfte Schwingung.

Die erste Amplitude \(A_1\) zu Beginn der Aufzeichnung entspricht dem Betrag der Auslenkung bei \(t = 0\).

Nach einer vollen Schwingungsperiode befindet sich die Auslenkung wieder in einem Minimum. Die Amplitude \(A_2\) nach einer Periode entspricht also dem Betrag der Auslenkung im zweiten Wellental.

Wenn du jetzt aus dem Diagramm die beiden Amplituden abliest, erhältst du folgende gegebenen Werte:

\(A_1 = 4 \text{ cm}\)

\(A_2 = 2{,}5 \text{ cm}\)

Gesucht ist die relative Abnahme der Amplitude:

\(\Delta A_{12}=\,?\)

 

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Die absolute Abnahme der Amplitude ist immer die Differenz aus den beiden Amplituden:

\(A_1 - A_2\)

Die Abnahme (in Prozent) im Vergleich zur anfänglichen Amplitude erhältst du, indem du diese Differenz durch die Amplitude zu Beginn teilst:

\(\Delta A_{12} = \frac{A_1 - A_2}{A_1} \)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Diese Formel musst du nicht mehr umstellen, da die relative Abnahme bereits allein auf der linken Seite der Gleichung steht:

\(\color{red}{\Delta A_{12}} = \frac{A_1 - A_2}{A_1} \)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Da du die Amplituden aus demselben Diagramm abgelesen hast, haben sie die gleiche Einheit. Deshalb musst du sie nicht in eine andere Einheit umrechnen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Im letzten Schritt kannst du die Zahlenwerte für \(A_1\) und \(A_2\) einsetzen und die relative Abnahme der Amplitude berechnen:

\(\begin{align} \color{red}{\Delta A_{12}} &= \frac{A_1 - A_2}{A_1} \\[6pt] &= \frac{4 \text{ cm} - 2{,}5 \text{ cm} }{ 4 \text{ cm} } \\[6pt] &= \frac{ 1{,5} \text{ cm}}{ 4 \text{ cm}} \\[6pt] &= 0{,}375\\[6pt] &=37{,}5 \, \% \end{align} \)

Wenn du die Dezimalzahl in eine Angabe in Prozent umwandeln möchtest, musst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben.

Lösung

1. Die Periodendauer der Wasserwellen beträgt \(T = 15 \text{ s}\) und erfüllt damit die Bedingung für einen guten Surftag! Rebecca und Alex können sich also auf gute Wellen freuen. Die Frequenz der Wellen ist \(f = \frac{1}{15} \text{ Hz}\) und die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c = 1{,}2\, \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
2. Es handelt sich um eine gedämpfte Schwingung, weil die Amplitude mit der Zeit abnimmt. Nach der ersten Periode hat die Amplitude um \(37{,}5 \, \%\) im Vergleich zum Beginn der Schwingung abgenommen.