Raumgeometrie – Lexikoneinträge
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Bei einer Reihe von einfachen Körpern ist es sinnvoll, eine Seitenfläche als „ Grundfläche “ auszuzeichnen. Die Ausdehnung senkrecht zur Grundfläche G ist dann die Höhe h dieses Körpers. Dies ist bei zwei Arten von Körpern möglich: Bei Prisma und Zylinder gibt es zwei parallele, kongruente Flächen, die Grund- und die Deckfläche (welche man als „unten“ und welche als „oben“ ansieht, ist dabei egal). Beim Prisma ist die Grundfläche ein Polygon ( Vieleck ), beim Zylinder ein Kreis . Für das Volumen von Prisma und Zylinder gilt die einfache Merkregel „Grundfläche mal Höhe“, also V = G · h...
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Nicht nur Kurven (insbesondere Funktionsgraphen ) können gekrümmt sein, sondern auch Flächen . Ein gutes Beispiel für eine gekrümmte Fläche ist die Oberfläche der annähernd kugelförmigen Erde. Anders als in der (flachen) Ebene gelangt man, egal wohin man in gerader Richtung geht, irgendwann wieder an den Ausgangspunkt. Und anders als in der Ebene kann man der Erdoberfläche eine von geraden Seiten begrenzte Figur mit nur zwei Ecken bewundern: Solch ein Zweieck hat seine beiden Ecken am Nord- und Südpol, die Seiten sind Längenkreise ( Meridiane ). Das wahrscheinlich einfachste Kriterium dafür...
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Die Kugel ist der symmetrischste geometrische Körper , den es gibt. Sie ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunkts M , drehsymmetrisch um jede Gerade durch M (und zwar um jeden beliebigen Winkel) und spiegelsymmetrisch bezüglich jeder Ebene durch M . Ihre Oberfläche ist eine gekrümmte Fläche und ein gutes Modell für die Erdoberfläche , auf der wir leben (allerdings ist die Erde nur angenähert eine Kugel). Als Punktmenge definiert man die Kugel als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Mittelpunkt M (höchstens) den räumlichen Abstand r haben. Jede Schnittfläche einer Kugel ist...
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Netze oder Körpernetze sind Darstellungen von geometrischen Körpern , bei denen diese gewissermaßen aufgefaltet werden, so dass alle Seitenflächen nebeneinander in einer Ebene liegen. Alle Polyeder lassen sich als Netze darstellen, ebenso Zylinder und Kegel . Eine Kugel dagegen lässt sich nicht in die Ebene ausfalten – gleichgültig, wie geschnitten wird. Beispiele: Netz eines Quaders Netz eines Hauses Das Netz eines Zylinders besteht aus einem Rechteck und zwei Kreisen:
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Die Oberfläche ist die äußere Begrenzung eines dreidimensionalen Objekts, also eines Körpers . Sie ist damit selbst ein zweidimensionales Objekt, also eine Fläche. (Analog dazu hat eine zweidimensionale Figur einen eindimensionalen Umfang .) Da die Oberfläche eines Körpers in sich geschlossen sein muss (sonst würde der Körper ja „auslaufen“), ist eine Oberfläche immer gekrümmt oder sie hat „Knicke“ (oder beides). Beispiele: Die Oberfläche der annähernd kugelförmigen Erde ist gekrümmt , deshalb hat z. B. ein Dreieck mit Eckpunkten am Nordpol, am Äquator in Brasilien und am Äquator in Indien...
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Ein Parallelepiped , Parallelflach oder Spat ist ein (im Allgemeinen schiefes) Prisma , dessen Grund- und Deckfläche Parallelogramme sind. Wenn alle sechs Seitenfläche kongruent sind, heißt der Körper Rhomboeder . In der Analytischen Geometrie ist ein Parallelepiped der von drei linear unabhängigen Vektoren \(\vec a\) , \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgespannte Körper. Sein Volumen lässt sich nach der Prismen -Formel „Grundfläche mal Höhe“ berechnen, V = G · h G . In der Analytischen Geometrie berechnet man dieses Volumen als den Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren: \(V = \left| \left(...
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Die Raumgeometrie ( Stereometrie ) ist der Teil der Geometrie , der sich mit räumlichen, d. h. dreidimensionalen Objekten ( Körpern ) befasst sowie mit der Lage von zwei - und eindimensionalen Objekten (Figuren, Ebenen, Geraden und Strecken) im Raum. Bei der Untersuchung von Körpern interessieren zum einen ihr Volumen ( Rauminhalt ) und ihr Oberflächeninhalt . Bei einfachen Körpern wie Prismen , Polyedern , Zylindern , Pyramiden , Kegeln oder Kugeln lassen sich Volumen und Oberfläche mit Formeln berechnen, ebenso bei aus solchen Objekten zusammengesetzten Körpern . Volumen und Oberfläche von...
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Risse bzw. Schnittzeichnungen dienen zur exakten und maßtreuen Darstellung von dreidimensionalen Körpern , etwa in Architektur oder Maschinenbau. Dabei wird gezielt nur die Ansicht in zwei der drei Dimensionen gewählt, man sieht das gesamte Objekt also nur, wenn man drei Risse bzw. Schnitte sieht. Dabei benutzt man die Bezeichnungen Grundriss für den Blick vertikal von oben (meistens die z -Richtung) Aufriss für den Blick von vorne (eine der beiden horizontalen Richtungen) Seitriss für den Blick von links bzw. rechts (die andere horizontale Richtung) Mathematisch gesehen ist ein Riss eine...
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Ein Schrägbild ist eine zweidimensionale Darstellung oder Projektion von dreidimensionalen Objekten ( Körpern ), bei der zwei Achsen ( x , z ) in der „Papierpebene“ aufeinander senkrecht stehen. Die dritte Achse ( y ) wird dagegen um einen gewissen Verzerrungswinkel \(\alpha\) gedreht, sodass sie scheinbar „nach hinten“ zeigt. Längen auf dieser Achse werden um einen Verkürzungsfaktor k verkleinert dargestellt. In der Regel wählt man \(\mathbf{\alpha = 45^\circ}\) und k = 0,5 , was man auch die „ Kavaliersprojektion “ oder -perspektive nennt (allerdings wird der Begriff nicht immer in dieser...
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Das Volumen V gibt an, wie „groß“ der Inhalt eines Körpers ist, eine andere Bezeichnung hierfür ist Rauminhalt . Das Volumen ist das Produkt der Ausdehnung in allen drei Raumrichtungen (Dimensionen) – ein sehr langer, aber dünner Körper kann ein wesentlich kleineres Volumen haben als ein kompakter, der sich in alle drei Dimensionen erstreckt. Eine Möglichkeit, das Volumen zu messen, ist es, den Körper komplett auszuhöhlen und mit Wasser auszugießen. Die Menge des eingefüllten Wassers könnte man z. B. mit einer Waage bestimmen. Ein mathematischerer Ansatz, das Volumen zu messen, ist das...
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Ein Würfel ist ein regelmäßiges Polyeder , dessen sechs Seitenflächen kongruente Quadrate sind. Er besitzt (wie das Quadrat im Zweidimensionalen) besonders viele Symmetrien und zählt zu den platonischen Körpern (in diesem Zusammenhang sagt man auch Hexaeder zum Würfel). Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders (und daher auch ein Prisma ): bei dem alle Kanten die gleiche Länge a haben. Wenn man die Seitenmitten eines Würfels verbindet, erhält man ein Oktaeder (und umgekehrt). Die Flächendiagonalen der Seitenflächen haben die Länge \(\sqrt 2 \cdot a\) , die Raumdiagonale (Abbildung) hat die...
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Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper , den man auf zwei Weisen definieren kann: als Rotationskörper , der entsteht, wenn ein Rechteck um eine Seite rotiert wird oder als Prisma mit einem Kreis aus Grund- und Deckfläche (ebenso könnte man auch ein Prisma als Zylinder mit eckiger Grundfläche bezeichnen). Das Volumen des Zylinder berechnet sich nach der einfachen Formel „Grundfläche mal Höhe“, also \(V = G \cdot h = \pi r^2h\) Die Oberfläche O eines Zylinders ist die Summe aus Grund-, Deck- und Mantelfläche: O = 2 G + M (Grund- und Deckfläche sind kongruent und damit gleich groß). Man kann...