Matrizen – Lexikoneinträge
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Wenn alle Einträge einer Matrix außer für i = j null sind, also wenn \(i \ne j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) , dann nennt man die Matrix eine Diagonalmatrix . Der Name kommt daher, dass nur in der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen der Matrix von null verschiedene Einträge stehen. Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Wenn die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) Diagonalform hat, kann man die Lösungen direkt ablesen, deswegen spielt das Diagonalisieren von Matrix in der Linearen Algebra eine große Rolle.
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Wenn alle Einträge a ij einer Matrix A = ( a ij ) unterhalb der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen null sind, nennt man die Matrix eine obere Dreiecksmatrix . Es gilt also in diesem Fall \(i > j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Bei einer unteren Dreiecksmatrix gilt entsprechend \(i < j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) . Wenn man es schafft, die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) in obere Dreiecksform zu bringen, hat man sozusagen gewonnen, denn dann kann man durch sukzessives...
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Man kann bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) die Koeffizienten auf den linken Seiten der Gleichungen (also die Vorfaktoren vor den Variablen) zu einer Matrix zusammenfassen, die man naheliegenderweise die Koeffizientenmatrix nennt. Wenn das System z. B. aus drei Gleichungen und drei Variablen (Unbekannten) besteht, \(\begin{matrix} &(\text I) &a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1 \\ &(\text{II}) &a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2 \\ &(\text{III}) &a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3 \end{matrix}\) ist die Koeffizientenmatrix die Matrix \(A =\begin...
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Die Multiplikation von zwei Matrizen ist eine Rechenoperation, deren Ergebnis wiederum eine Matrix ist. Wenn man die Matrizen als Abbildungsmatrizen ( Analytische Geometrie ) bzw. Übergangsmatrizen ( Stochastik ) auffasst, entspricht das Matrixprodukt der Hintereinanderausführung zweier Abbildungen bzw. zweier „Zeitschritte“ eines Zufallsvektors . Da man Vektoren als Matrizen mit nur einer Spalte bzw. Zeile ansehen kann, ist die Matrixmultiplikation auch für Vektoren definiert (siehe unten). Die Matrizenmultiplikation einer m × n -Matrix A mit einer n × p -Matrix B wird komponentenweise...
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Die Bezeichnung Spaltenvektor wird in der Analytischen Geometrie auf zweierlei Weise gebraucht: Entweder ist damit einfach ein Vektor gemeint, dessen Komponenten übereinander notiert werden (also sozusagen in einer vertikalen Spalte), z. B. \(\vec v = \begin{pmatrix} 3 \\ -\frac 2 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder man nennt bezeichnet eine Spalte einer Matrix als Spaltenvektor, z. B. wenn man die Spalten auf lineare Unabhängigkeit untersuchen will. Formal kann man einen Spaltenvektor durch eine Matrixtransposition in einen Zeilenvektor umwandeln: \(\begin{pmatrix} 3 \\ - \!\frac 2 3 \\ 0 \end...
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Die Bezeichnung Zeilenvektor wird in der Analytischen Geometrie auf zweierlei Weise gebraucht: Entweder ist damit einfach ein Vektor gemeint, dessen Komponenten nebeneinander notiert werden (also sozusagen in einer horizontalen Zeile), z. B. \(\vec v = \left( 3; -\!\frac 2 3; 0 \right)\) oder man nennt bezeichnet eine Zeile einer Matrix als Zeilenvektor, z. B. wenn man die Zeilen auf lineare Unabhängigkeit untersuchen will. Formal kann man einen Zeilenvektor durch eine Matrixtransposition in einen Spaltenvektor umwandeln: \( \left( 3; -\!\frac 2 3; 0 \right)^{\!\text T} = \begin{pmatrix} 3 \\...