Kombinatorik – Klassenarbeiten
Kombinatorik – Lexikoneinträge
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In Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung typische Vorgehensweisen beim Bestimmen von „günstigen“ und „allen“ Ausgängen eine Zufallsexperiments . Speziell gemeint sind damit die Pfadregeln , mit denen man Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm berechnen kann.
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Die Koeffizienten, die sich beim Ausmultiplizieren eines potenzierten Binoms („Binom höherer Ordnung“) bzw. in den verallgemeinerten binomischen Formeln ergeben. Betrachtet man etwa den Ausdruck ( a + b ) n , so ergibt sich für n = 1, …, 4: \(\begin{alignat*}{1}(a+b)^0&=&1\\ (a+b)^1&=&a+b\\ (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4&=&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\&\ldots&\end{alignat*}\) Die vor den Potenzprodukten von a und b stehenden Zahlen, also die Koeffizienten, sind die Binomialkoeffizienten . Für den k -ten Koeffizienten in der n -ten Gleichung schreibt man das...
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Der Ausdruck n ! (sprich „n Fakultät “) bezeichnet das Produkt der ersten n Zahlen, also z. B. \(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\) Fakultäten werden vor allem in der Kombinatorik und bei der Berechnung von Binomialkoeffizienten benötigt.
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Unter einer Kombination versteht man in der Kombinatorik eine ungeordnete Auswahl von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Anders als bei Variationen und Permutationen spielt hier also die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle. Wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind, sind die Kombinationen einfach die Teilmengen dieser Menge. So hat z. B. die Menge {X; Y; Z} nur die drei verschiedenen 2-Kombinationen {X; Y}, {X; Z} und {Y; Z}, da nicht zwischen {X; Y} und {Y; X} unterschieden wird. Andernfalls kommen noch die drei Kombinationen {X; X}, {Y; Y} und {Z; Z} hinzu. Eine...
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Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment , bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das typische Beispiel dafür ist das Werfen von einem fairen Würfel – alle sechs Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6. Allgemein beträgt bei einem Laplace-Experiment mit n möglichen Ausgängen (also mit einer Ergebnismenge aus n Elementen; \(|\Omega | = n\) ) die Wahrscheinlichkeit der n Ergebnisse a i jeweils \(P(a_i)=\displaystyle \frac 1 n\) . Benannt ist das Laplace-Experiment nach Pierre-Simon Laplace (1749–1827), einem der Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Für ein...
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Das Pascalsche Dreieck (nach Blaise Pascal , 1623–1663) ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) ( k = 0, 1, …, n ) einer binomischen Formel ( a + b ) n der Ordnung n . \(\large\begin{matrix}n=0\\\\1\\\\2\\\\3\\\\4\\\\5\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\) \(\large\begin{matrix} 1\\\\ 1\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;2\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;3\;\;\;\;3\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;4\;\;\;\;6\;\;\;\;4\;\;\;\;1\\\\\ 1\;\;\;\;5\;\;\;\;10\;\;\;\;10\;\;\;\;5\;\;\;\;1\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\) Es gibt eine einfache Konstruktionsregel: Ganz links und ganz...
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Unter einer Permutation versteht man allgemein das Vertauschen von in einer bestimmten Reihenfolge angeordneten Zahlen, Elementen oder Ähnlichem. So sind z. B. die geordneten Tripel (1; 3; 5), (3; 1; 5) und (5; 3; 1) jeweils Permutationen voneinander. (Man kann übrigens Permutationen auch als Variationen für den Fall k = n ansehen.) In der Kombinatorik möchte man wissen, wie viele Permutationen es für n Elemente einer Menge gibt. Dabei unterscheidet man, ob alle n Elemente verschieden und unterscheidbar sind oder ob es identische, ununterscheidbare Elemente gibt. Man sagt im ersten Fall auch...
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Neben Analytischer Geometrie und Analysis eines der drei abiturrelevanten Themengebiete der Mathematik. Der Ausdruck „Stochastik“ leitet sich vom griechischen Wort für „vermuten“ ab, was ganz gut beschreibt, worum es in der Stochastik geht: um Zufallsexperimente , Wahrscheinlichkeiten , Statistiken, Messdaten und die mit ihnen verbundenen Unsicherheiten und Fehlergrenzen. Die Stochastik gliedert sich im Wesentlichen in die folgenden Teilgebiete: Beschreibende Statistik : Erheben von Umfrage- oder Messdaten ( Stichproben ) und die Darstellung der Ergebnisse in Grafiken , Tabellen oder mithilfe...
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Eine Menge aus n Elementen, bei welcher die Reihenfolge der Elemente festgelegt ist, nennt man ein n -Tupel . Man schreibt ein Tupel meist mit runden Klammern, im Gegensatz zu Mengen, die mit geschweiften Klammern notiert werden. 2-Tupel heißen auch geordnete Paare , 3-Tupel Tripel , 4-Tupel Quadrupel usw. Beispiel: „{1; 2; 3}“ und „{3; 2; 1}“ bezeichnen dieselbe Menge , dagegen sind „(1; 2; 3)“ und „(3; 2; 1)“ zwei verschiedene Tripel . Der Unterschied zwischen Mengen und Tupeln spielt in der Kombinatorik eine besondere Rolle, da man dort unterscheidet, ob es in einer Stichprobe oder beim...
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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung dienen Urnenmodelle dazu, Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente zurückzuführen, für welche die Wahrscheinlichkeiten recht übersichtlich berechnet werden können. Beispiel: Eine Schulklasse besteht aus 15 Mädchen und 12 Jungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Mädchen auszuwählen? Die Situation wird durch ein Urne genanntes, undurchsichtiges Gefäß modelliert, das 12 blaue und 15 rote Kugeln enthält. Wird daraus zufällig eine Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel („Mädchen“) zu ziehen, \(P(„\text{rot}“) =...
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Unter einer Variation versteht man in der Kombinatorik eine angeordnete Auswahl (ein Tupel ) von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Hat man z. B. die Menge {a; b; c; d}, sind (a; b) und (b; a) zwei verschiedene 2er-Variationen, (c; a; b) ist eine 3er Variation (man sagt auch kürzer von 2- und 3-Varationen bzw. allgemein von einer k -Variation ). Wenn k = n ist, spricht man von Permutation , daher nehmen wir ab jetzt k < n an. Einen wichtigen Unterschied macht die Frage, ob die k Elemente alle verschieden sein sollen („keine Wiederholungen“) oder ob sie beliebig ausgewählt werden (...
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Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass jede gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt wird. Dadurch liegen bei jedem Ziehen gleich viele Kugeln jeder Sorte in der Urne und die Einzelwahrscheinlichkeiten sind bei allen Ziehungen gleich groß. In diesem Fall ist es auch möglich, häufiger zu ziehen als Kugeln in der Urne sind, die Zahl der Ziehungen k kann also auch größer als N (im Prinzip sogar eine beliebige natürliche Zahl) sein. Beispiel: Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Da ich gerade Zahnschmerzen habe, esse ich die Bonbons nicht nach...