Arbeit in der Mechanik

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

1. Entscheide, ob in den folgenden Schritten des Wasserholens mechanische Arbeit am Eimer verrichtet wird und ob sich das Energieniveau des Eimers ändert.
   i.    Der Eimer wird an einem Seil von unten nach oben gezogen.
   ii.   Der Eimer steht oben auf dem Brunnenrand.
   iii.  Der Eimer wird von oben nach unten zurück in den Brunnen geworfen.
2. Miriam hat einen kleineren Eimer, für den sie eine Kraft von \(9\) Newton aufbringen muss, um ihn mit Wasser gefüllt die \(7\) Meter vom Brunnengrund nach oben zu ziehen. Kaya hat einen größeren Eimer, für den eine Kraft von \(13\) Newton für das Hochziehen nötig ist. Um die Tränke zu füllen, zieht Miriam ihren Eimer viermal und Kaya ihren Eimer dreimal nach oben. Miriam sagt, dass Kaya heute den Stall ausfegen solle, da sie ihren Eimer öfter hochgezogen habe. Kaya sagt allerdings, dass ihr Eimer schwerer sei, also habe sie auch mehr Arbeit als Miriam verrichtet und deshalb wäre es fairer, wenn Miriam den Stall fegen würde.
   Rechne aus, ob Miriam oder Kaya mehr Arbeit verrichtet hat, und entscheide, wer den Stall ausfegen muss.
3. Am nächsten Tag geht Miriam allein zum Brunnen, um Wasser zu holen. Dabei verwendet sie wieder den kleineren Eimer. Der Wasserspiegel im Brunnen ist gesunken, sodass die Höhe des Wasserspiegels bis nach oben nun auf \(10\) Meter angestiegen ist. Berechne, wie oft sie ihren Eimer hochziehen muss, damit sie in etwa genauso viel Arbeit verrichtet wie Kaya am Tag zuvor.

Teilaufgabe a

Entscheide, ob in den folgenden Schritten des Wasserholens mechanische Arbeit am Eimer verrichtet wird und ob sich das Energieniveau des Eimers ändert.
i.    Der Eimer wird an einem Seil von unten nach oben gezogen.
ii.   Der Eimer steht oben auf dem Brunnenrand.
iii.  Der Eimer wird von oben nach unten zurück in den Brunnen geworfen.

1. Schritt: Finde, was gegeben und gesucht ist

Es sind verschiedene Szenarien gegeben und du musst entscheiden, ob hier Arbeit verrichtet wird und ob sich das Energieniveau des Eimers ändert.

2. Schritt: Erläutere die gesuchten Größen

Wenn Arbeit verrichtet wird, dann wird immer eine Kraft entlang eines bestimmten Weges aufgebracht. Es kann also nur Arbeit verrichtet werden, wenn sowohl eine Kraft als auch ein Weg vorhanden ist.

Das Energieniveau des Eimers bezieht sich hier auf das Gravitationsfeld der Erde und damit auf seine Lageenergie. Die Lageenergie ändert sich immer, wenn der Eimer auf eine andere Höhe im Gravitationsfeld der Erde gebracht wird.

3. Schritt: Analysiere die Umstände in den Szenarien

Wenn Miriam und Kaya den Eimer nach oben ziehen, dann müssen sie auf das Seil eine Zugkraft ausüben. Der Weg entspricht der Höhendifferenz, um die der Eimer nach oben gezogen wird. Eine Kraft wird hier also entlang eines Weges aufgebracht. Deshalb wird hier Arbeit verrichtet. Weil der Eimer von unten nach oben gezogen wird, ändert sich seine Höhe im Gravitationsfeld der Erde. Wenn er oben angekommen ist, hat er mehr potenzielle Energie als zu Beginn. Sein Energieniveau hat sich also geändert.

Wenn der Eimer auf dem Brunnenrand steht, bewegt er sich nicht und es wird keine Kraft auf ihn ausgeübt. Deshalb wird auch keine Arbeit verrichtet. Seine Höhe ändert sich ebenfalls nicht. Deshalb bleibt auch sein Energieniveau im Gravitationsfeld der Erde gleich.

Wenn der Eimer nach unten geworfen wird, legt er natürlich auch einen Weg zurück. Aber gibt es hier auch eine Kraft? Na klar, das ist die Gravitationskraft der Erde, denn die zieht ihn ja nach unten! Hier wird also am Eimer auch Arbeit verrichtet. Der Unterschied besteht darin, dass in diesem Szenario diese Kraft nicht von Miriam und Kaya aufgebracht werden muss. Das erledigt die Gravitation der Erde für die beiden. Das Energieniveau ändert sich ebenfalls, denn der Eimer hat ja eine geringere Höhe als vorher, wenn er unten im Brunnen angekommen ist. Damit hat sich seine Lageenergie reduziert.

4. Notiere Antwortsätze für jedes Szenario

In i wird Arbeit verrichtet und das Energieniveau des Eimers ändert sich. Die Lageenergie des Eimers nimmt zu.
In ii wird keine Arbeit verrichtet, da der Eimer auf Brunnenrand steht, er also keinen Weg zurücklegt und keine Kraft auf ihn wirkt. Sein Energieniveau bleibt ebenfalls gleich.
In iii wird Arbeit am Eimer verrichtet, da die Gravitationskraft der Erde auf ihn wirkt. Sein Energieniveau ändert sich ebenfalls und die Lageenergie des Eimers nimmt ab.

 

Teilaufgabe b

Miriam hat einen kleineren Eimer, für den sie eine Kraft von \(9\) Newton aufbringen muss, um ihn mit Wasser gefüllt die \(7\) Meter vom Brunnengrund nach oben zu ziehen. Kaya hat einen größeren Eimer, für den eine Kraft von \(13\) Newton für das Hochziehen nötig ist. Um die Tränke zu füllen, zieht Miriam ihren Eimer viermal und Kaya ihren Eimer dreimal nach oben. Miriam sagt, dass Kaya heute den Stall ausfegen solle, da sie ihren Eimer öfter hochgezogen habe. Kaya sagt allerdings, dass ihr Eimer schwerer sei, also habe sie auch mehr Arbeit als Miriam verrichtet und deshalb wäre es fairer, wenn Miriam den Stall fegen würde.
Rechne aus, ob Miriam oder Kaya mehr Arbeit verrichtet hat, und entscheide, wer den Stall ausfegen muss.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Miriam und Kaya ziehen Wasser aus dem Brunnen nach oben und verrichten dabei Arbeit. Miriam benutzt einen leichteren Eimer, zieht ihn aber häufiger nach oben als Kaya. Kaya verwendet einen schwereren Eimer, zieht ihn dafür weniger oft nach oben.

Gegeben sind der Weg \(s\), um den die beiden ihre Eimer nach oben ziehen, die Kräfte \(F_M\) und \(F_K\), die sie dafür aufbringen, und die Anzahl ihrer Wiederholungen \(n_M\) und \(n_K\):

\(\begin{align} s &= 7\text{ m} \\ F_M &=9 \text{ N} \\ F_K &=13 \text{ N} \\ n_M &=4 \\ n_K&=3 \end{align}\)

Sie wollen wissen, wer weniger Arbeit verrichtet hat, da diejenige Person dann den Stall ausfegen soll.

Gesucht sind also die beiden Arbeiten \(W_M\) und \(W_K\), welche die beiden jeweils verrichtet haben:

\(\color {red}{W_M}\\ \color {red}{W_K}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Da du eine Arbeit bestimmen möchtest, startest du mit der allgemeinen Formel für die Arbeit. Die besagt, dass die verrichtete Arbeit \(W\) gleich dem Produkt aus der Kraft \(F\) und dem Weg \(s\) ist:

\(W= F\cdot s\)

Miriam und Kaya verrichten bei jeder Wiederholung jeweils die gleiche Arbeit. Um jeweils auf die gesamte Arbeit zu kommen, musst du die Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Eimer einmal nach oben gezogen wird, noch mit der Anzahl der Wiederholungen multiplizieren:

\(W_{ges}= W\cdot n= F\cdot s\cdot n\)

Damit kommst du auf folgende Formeln für die beiden Arbeiten:

\(\color{red}{W_{M}}= F_M\cdot s\cdot n_M\)

\(\color{red}{W_{M}}= F_K\cdot s\cdot n_K\)

Schritt 3: Stelle die Formeln nach dem Gesuchten um

Die gesuchte Arbeit steht in beiden Formeln schon allein auf einer Seite:

\(\color{red}{W_{M}}= F_M\cdot s\cdot n_M\)

\(\color{red}{W_{M}}= F_K\cdot s\cdot n_K\)

Deshalb musst du die beiden Gleichungen nicht umstellen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Die Arbeit hat die Einheit Joule. Diese Einheit ist definiert als Newton mal Meter. Die hier gegebenen Größen sind die Kraft in Newton und der Weg in Metern. Du musst also keine der gegebenen Einheiten umrechnen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun kannst du die gegebenen Größen in die beiden Formel einsetzen und das Ergebnis für die beiden Arbeiten ausrechnen:

\(\begin{align} W_{M}&= F\cdot s\cdot n\\ &=9\text{ N}\cdot7\text{ m}\cdot 4\\ &=252 \text{ Nm}\\ &=252 \text{ J} \end{align}\)

\(\begin{align} {W_{K}}&= F\cdot s\cdot n\\ &=13\text{ N}\cdot7\text{ m}\cdot 3\\ &=273 \text{ Nm}\\ &=273 \text{ J} \end{align}\)

Du siehst also, dass Miriam mit \(252 \text{ J}\) weniger Arbeit verrichtet hat als Kaya mit  \(273 \text{ J}\), obwohl sie den Eimer öfter nach oben gezogen hat. Das liegt daran, dass sie eine geringere Kraft als Kaya dabei aufwenden musste. Also muss Miriam den Stall ausfegen.

Teilaufgabe c

Am nächsten Tag geht Miriam allein zum Brunnen, um Wasser zu holen. Dabei verwendet sie wieder den kleineren Eimer. Der Wasserspiegel im Brunnen ist gesunken, sodass die Höhe des Wasserspiegels bis nach oben nun auf \(10\) Meter angestiegen ist. Berechne, wie oft sie ihren Eimer hochziehen muss, damit sie in etwa genauso viel Arbeit verrichtet wie Kaya am Tag zuvor.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

In dieser Teilaufgabe hat sich der Weg verändert. Er liegt jetzt bei \(10\) Metern. Die Kraft \(F_M\), die auf den Eimer wirken muss, um ihn nach oben zu ziehen, bleibt gleich. Weil Miriam in etwa so viel Arbeit wie Kaya in der Aufgabe vorher verrichten möchte, ist auch die gesamte Arbeit gegeben.

Gegeben:

\(\begin {align}s&=10\text{ m}\\ F_M&=9 \text{ N}\\ W_{ges}&=273\text{ J}\end{align}\)

Gesucht ist nun die Anzahl der Wiederholungen \(n\), die Miriam ausführen muss, um auf die gegebene Arbeit zu kommen.

Gesucht:

\(\color{red}n\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Wie in der Aufgabe zuvor geht es hier auch wieder um die gesamte verrichtete Arbeit.

\(W_{ges}=F_M\cdot s\cdot n\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Jetzt ist aber die Anzahl der Wiederholungen gesucht. Deshalb musst du die Formel nach \(n\) umstellen. Dafür teilst du die Gleichung durch die Kraft \(F\) und den Weg \(s\):

\(\begin{align}W_{ges}&= F\cdot s\cdot \color{red}n&\mid:(F\cdot s)\\[6pt] \frac{W_{ges}}{F\cdot s}&=\color{red}n\\[6pt]\color{red}n&=\frac{W_{ges}}{F\cdot s} \end{align}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Auch hier geht es wieder um Arbeit, Kraft und Strecke. Die gegebenen Einheiten Joule, Newton und Meter passen alle zusammen und du musst nichts umrechnen.

Denke daran, dass die gesuchte Anzahl keine Einheit hat.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun setzt du die gesuchten Größen in die Formel für die Wiederholungen ein:

\(\begin{align} \color{red}n&=\frac{W_{ges}}{F\cdot s}\\[6pt] &=\frac{273\text{ J}}{9\text{ N}\;\cdot\;10\text{ m}}=\frac{273\text{ Nm}}{90\text{ Nm}} \\[6pt] &=3{,}0\overline3\\[6pt] \color{red}n&\approx3 \end{align}\)

Miriam muss den Eimer an diesem Tag also dreimal nach oben ziehen, um etwa die gleiche Arbeit zu verrichten wie Kaya am vorherigen Tag.

Lösung

1. In i wird Arbeit verrichtet und das Energieniveau des Eimers ändert sich. Die Lageenergie des Eimers nimmt zu.
   In ii wird keine Arbeit verrichtet, da der Eimer auf dem Brunnenrand steht, er also keinen Weg zurücklegt und keine Kraft auf ihn wirkt. Sein Energieniveau bleibt ebenfalls gleich.
   In iii wird Arbeit am Eimer verrichtet, da die Gravitationskraft der Erde auf ihn wirkt. Sein Energieniveau ändert sich ebenfalls und die Lageenergie des Eimers nimmt ab.

2. Miriam hat mit \(252 \text{ J}\) weniger Arbeit verrichtet als Kaya mit \(273 \text{ J}\). Also muss Miriam den Stall ausfegen.
3. Miriam muss den Eimer an diesem Tag dreimal nach oben ziehen, um etwa die gleiche Arbeit zu verrichten wie Kaya am vorherigen Tag.