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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit der Formel für Beschleunigung rechnest

Aufgabe

Ein Sprinter läuft los und hat nach \(6 \ \text{s}\) eine Geschwindigkeit von \(9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Nimm an, dass er eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vollführt.

  1. Gib an, wie groß die Beschleunigung des Sprinters während der \(6 \ \text{s}\) ist.
  2. Welche Strecke hat der Sprinter nach den \(6 \ \text{s}\) zurückgelegt?

Teilaufgabe a)

Zunächst geht es um den Aufgabenteil a. Wie man den Aufgabenteil b löst, wird dir dann weiter unten gezeigt. Die Teilaufgabe a lautet:

Gib an, wie groß die Beschleunigung des Sprinters während der \(6 \ \text{s}\) ist.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Du musst immer zuerst herausfinden, was gegeben und was gesucht ist.

Gegeben ist:

  • nach \(6 \ \text{s}\) hat der Sprinter eine Geschwindigkeit von \(9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)

Und gesucht:

  • die Beschleunigung während der \(6 \ \text{s}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Der Sprinter steht am Anfang und später läuft er mit einer gewissen Geschwindigkeit. Das heißt also, dass sich seine Geschwindigkeit geändert hat. Oder anders gesagt, du hast eine Geschwindigkeitsänderung. Außerdem hast du dazu eine Zeitänderung. Das Ganze findet ja in einem gewissen Zeitraum statt. Wenn du eine Geschwindigkeitsänderung und eine Zeitänderung gegeben hast und die Beschleunigung wissen möchtest, kannst du folgende Formel anwenden:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

Hier bezeichnet \(a\) die Beschleunigung, \(\Delta v\) die Geschwindigkeitsänderung und \(\Delta t\) die Zeitänderung.

Wenn du wissen möchtest, woher diese Formel kommt, kannst du dir das Erklärvideo zur Beschleunigung anschauen.

Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um

Da du die Beschleunigung ausrechnen möchtest, kannst du die Formel direkt anwenden. Eine Umstellung der Formel ist in diesem Fall nicht nötig. Die Formel ist nämlich:

\(\color{red}{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

Und die gesuchte Größe ist die Beschleunigung (hier das rote a). Falls du die Formel doch mal umstellen musst, z. B. nach der Zeit, kannst du folgendes Formeldreieck verwenden:

\(\Huge\,\frac{v}{a\,\cdot\,t}\,\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Die angegebene Geschwindigkeit ist \(9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\) und die angegebene Zeit ist \(6 \ \text{s}\). Die beiden Einheiten passen also zueinander und müssen nicht unbedingt umgerechnet werden. Da wir jeweils eine Änderung betrachten, brauchen wir für beide auch noch einen „Startwert“. Hier ist es dann sinnvoll, \(0 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\) für den Startwert der Geschwindigkeit und \(0 \ \text{s}\) für den Startwert der Zeit zu wählen. So müssen dann auch diese beiden nicht umgerechnet werden.

Als Nächstes kannst du dir noch anschauen, welche Einheiten beim Ergebnis erwartet werden. Die Beschleunigung wird üblicherweise in \(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\) angegeben. Das passt ebenfalls zu den gegebenen Einheiten und somit kannst du wirklich ohne Bedenken weiterrechnen, ohne die Einheiten umrechnen zu müssen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Als Letztes musst du nun noch die Werte in die Formel einsetzen, um das Ergebnis auszurechnen. Zunächst solltest du sowohl die Geschwindigkeitsänderung als auch die Zeitänderung berechnen. Für die Geschwindigkeitsänderung hast du:

\(\Delta v = v_{1} - v_{0} = 9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}} - 0 \ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)

Wobei wir mit \(v_{0}\) die Startgeschwindigkeit und mit \(v_{1}\) die Geschwindigkeit nach den \(6 \ \text{s}\) bezeichnen.

Und für die Zeitänderung hast du:

\(\Delta t = t_{1} - t_{0} = 6 \ \text{s} - 0 \ \text{s} = 6 \ \text{s}\)

Hier bezeichnen \(t_{0}\) und \(t_{1}\) wieder den Startpunkt und den späteren Zeitpunkt.

Wenn du diese Zwischenergebnisse in die Formel einsetzt, erhältst du:

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \ \text{s}} = \frac{9}{6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot\frac{1}{\text{s}}= \frac{9}{6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} = 1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\)

Bei den Einheiten musst du daran denken, dass du einen Bruch durch eine ganze Zahl teilst. Deswegen multiplizierst du den Nenner mit der Größe, durch die du teilst, und erhältst als neuen Nenner \(\text{s}^{2}\).

Der Sprinter beschleunigt also mit \(1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\) während der ersten \(6 \ \text{s}\).

Teilaufgabe b)

Nun geht es um Aufgabenteil b. Die Aufgabe lautet:

Welche Strecke hat der Sprinter nach den \(6 \ \text{s}\) zurückgelegt?

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Gegeben ist:

  • nach \(6 \ \text{s}\) hat der Sprinter eine Geschwindigkeit von \(9 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)

Außerdem weißt du jetzt aus a:

  • die Beschleunigung beträgt \(1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\)

Gesucht ist:

  • die in den \(6 \ \text{s}\) zurückgelegte Strecke

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Du hast die Beschleunigung im Aufgabenteil a bereits ausgerechnet und hast dazu eine gegebene Zeit. Wenn du nun die zurückgelegte Strecke wissen möchtest, kannst du sie mit der folgenden Formel ausrechnen:

\(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}\)

Hier ist \(s\) die zurückgelegte Strecke, \(a\) die Beschleunigung und \(t\) die Zeit.

Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um

Da du die Strecke ausrechnen möchtest und sie in der Formel bereits allein auf einer Seite steht, entfällt das Umstellen wieder. Du möchtest nämlich die Strecke \(s\) haben und die Formel lautet:

\(\color{red}{s} = \frac{1}{2}a \cdot t^{2}\)

Falls du diese Fromel nach einer anderen Variablen auflösen musst, kannst du hier nachschauen, wie man das macht.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Du hast eine Beschleunigung von \(1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\) und eine Zeit von \(6 \ \text{s}\) gegeben. Die Strecke ist ja ein Längenmaß und dann kannst du einfach als Einheit Meter nehmen. Diese Einheiten passen also zueinander und eine Umrechnung ist nicht nötig.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Als Letztes musst du noch die Werte in die Formel einsetzen. Das sieht so aus:

\(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} \cdot (6 \ \text{s})^{2}\)

Du solltest dann zunächst das Quadrat ausrechnen. Dann hast du:

\(s = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 36 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} \cdot \text{s}^{2} = 27 \ \frac{\text{m} \cdot \cancel{\text{s}^{2}}}{\cancel{\text{s}^{2}}}= 27 \ \text{m}\)

Bei den Einheiten wurde \(\text{s}^{2}\) im Nenner des Bruchs gekürzt mit \(\text{s}^{2}\) im Zähler, das man von der Zeit zum Quadrat erhalten hat. Somit bleibt als Einheit \(\text{m}\).

Der Sprinter legt also \(27 \ \text{m}\) in den ersten \(6 \ \text{s}\) zurück.

Lösung

  1. Der Sprinter beschleunigt in den \(6 \ \text{s}\) mit \(1,5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\).
  2. Der Sprinter legt in den \(6 \ \text{s}\) insgesamt \(27 \ \text{m}\) zurück.
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