Schweredruck und Auflagedruck

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Carina möchte in den Osterferien den Physikstoff aufarbeiten und ihre Mutter, die Physikerin ist, hilft ihr dabei. Damit Carina ein Gefühl für Drücke bekommt, stellt ihre Mutter ihr einen Tag lang Fragen zu Alltagssituationen.

Frage 1

Carinas Mutter hat einen neuen Flachbild-Fernseher mit 55 Zoll Bilddiagonale bestellt, der nun samt Karton im Wohnzimmer steht. Der Fernseher inkl. Verpackung hat ein Gewicht von $22\,\text{kg}$.
Der Karton hat eine Höhe von $1\,\text{m}$, eine Breite von $1{,}3\,\text{m}$ und eine Tiefe von $30\,\text{cm}$.

Hinweis: $g\,\approx\,10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

1. Berechne den Druck, der vom Fernseher auf den Boden wirkt, wenn der Karton wie in der Abbildung steht.
2. Kann man den Druck noch weiter erhöhen, wenn man den Karton anders hinstellt? Begründe deine Antwort.

 

Teilaufgabe a

Berechne den Druck, der vom Fernseher auf den Boden wirkt, wenn der Karton wie in der Abbildung steht

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Gegeben sind die Maße des Kartons und das Gewicht:

$\begin{align*} h\,&=\,1\,\text{m} \\ b\,&= \,1{,}3\,\text{m} \\ t\,&=\, 30\,\text{cm} \\ m\,&=\,22\,\text{kg} \end{align*}$

Gesucht ist der Auflagedruck $p$, der vom Karton ausgeht.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

$p\,=\,\frac{F}{A}$

Du benötigst zur Berechnung also die Auflagefläche $A$ und die Gewichtskraft $F$. Für diese gilt:

$\begin{align*} F\,&=\,m\,\cdot\,g \\ A\,&=\,b\,\cdot\,t \end{align*}$

Setzt man das oben in die Formel ein, dann folgt die Gleichung: 

$p\,=\,\frac{F}{A}\,=\,\frac{m\,\cdot\,g}{b\,\cdot\,t}$

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Da die gesuchte Größe bereits vorn steht, können wird diesen Schritt überspringen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Bis auf die Tiefe des Kartons sind alle Angaben bereits in den benötigten Grundeinheiten angegeben. Also wandeln wir hier nur noch die Tiefe des Kartons in Meter um. Dabei gilt, dass $1\,\text{m}\,=\,100\,\text{cm}$ sind. Es wird also mit dem Faktor 100 multipliziert bzw. durch den Faktor 100 dividiert.

$t\,=\,30\,\text{cm}\,:\,100\,=\,0{,}3\,\text{m}$

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

$p\,=\,\frac{F}{A}\,=\,\frac{m\,\cdot\,g}{b\,\cdot\,t}\,=\,\frac{22\,\text{kg}\,\cdot\,10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{1{,}3\,\text{m}\,\cdot\,0{,}3\,\text{m}}\,\approx\,564{,}1\,\text{Pa}$

Der Auflagedruck beträgt demnach etwa 564,1 Pa.

Teilaufgabe b

Kann man den Druck noch weiter erhöhen, wenn man den Karton anders hinstellt? Begründe deine Antwort.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Es sind hier dieselben Angaben wie in Teilaufgabe a gegeben.

$\begin{align*} h\,&=\,1\,\text{m} \\ b\,&= \,1{,}3\,\text{m} \\ t\,&=\, 30\,\text{cm} \\ m\,&=\,22\,\text{kg} \end{align*}$

Gesucht wird hier jedoch nach einer Möglichkeit, den Auflagedruck zu erhöhen. Dazu schauen wir uns im nächsten Schritt noch einmal die Formel genauer an.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Hier bedienen wir uns wieder der Formel aus Teilaufgabe a:
$p\,=\,\frac{F}{A}$

Wir sehen hier sehr genau, wovon der Auflagedruck abhängt. An der Gewichtskraft können wir nichts weiter ändern, aber an der Auflagefläche können wir etwas ändern.

Wenn wir den Druck erhöhen möchten, dann müssen wir die Auflagefläche verkleinern, da $A$ im Nenner steht. Das bekommen wir hin, wenn wir den Karton auf die rechte Seite stellen, wodurch dann gilt:

$A\,=\,h\,\cdot\,t$

Es gilt also insgesamt:

$p\,=\,\frac{F}{A}\,=\,\frac{m\,\cdot\,g}{h\,\cdot\,t}$

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Hier brauchen wir nichts weiter umstellen, weshalb wir gleich zum nächsten Schritt kommen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Hier können wir ebenfalls auf die Teilaufgabe a zurückgreifen: 

$t\,=\,30\,\text{cm}\,:\,100\,=\,0{,}3\,\text{m}$

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wenn wir nun die veränderte Auflagefläche in die Formel einsetzen, dann erhalten wir einen höheren Auflagedruck:

$p\,=\,\frac{F}{A}\,=\,\frac{m\,\cdot\,g}{h\,\cdot\,t}\,=\,\frac{22\,\text{kg}\,\cdot\,10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{1\,\text{m}\,\cdot\,0{,}3\,\text{m}}\,\approx\,733{,}33\,\text{Pa}$

Der erhöhte Auflagedruck beträgt 733,33 Pa.

Frage 2:

Carina und ihre Mutter wollen, nachdem sie den Fernseher ausgepackt haben, für Ostern noch Eier ausblasen und bemalen. Dazu stechen sie mit einem Nagel zwei Löcher in die Eierschale. Die Spitze des Nagels ist kreisförmig und hat den Radius $r\,=\,0{,}5\,\text{mm}$. 

Berechne den Druck auf die Eierschale, wenn man den Nagel mit etwa $15\,\text{N}$ auf die Schale drückt.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Gegeben sind der Radius der kreisförmigen Auflagefläche und die Krafteinwirkung:

$\begin{align*} r\,&=\,0{,}5\,\text{mm} \\ F\,&= \,15\,\text{N} \end{align*}$

Gesucht ist der Druck $p$ auf die Eierschale.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Es gilt allgemein: 

$p\,=\,\frac{F}{A}$

Die Kraft ist bereits gegeben, jedoch müssen wir die Auflagefläche noch berechnen bzw. die Formel in die obere einsetzen.

Für eine Kreisfläche gilt die Formel: 

$A\,=\,\pi\,\cdot\,r^2$

Also gilt insgesamt: 

$p\,=\,\frac{F}{\pi\cdot\,r^2}$

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Da bereits der gesuchte Druck vorn steht, brauchen wir die Gleichung nicht weiter umstellen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Hier müssen wir den Radius umrechnen, damit wir die Fläche in $\text{m}^2$ bekommen.

Dabei lässt sich am einfachsten mit der wissenschaftlichen Schreibweise arbeiten. Die Vorsilbe Milli- steht für die Zehnerpotenz $10^{-3}$. Damit lässt sich schreiben: 

$r\,=\,0{,}5\,\cdot\,10^{-3}\,\text{m}$

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Setzt du nun alle Werte in die Formel ein, dann erhältst du folgendes Ergebnis:

$p\,=\,\frac{F}{\pi\cdot\,r^2}\,=\,\frac{15\,\text{N}}{\pi\,\cdot\,(0{,}5\,\cdot\,10^{-3}\,\text{m})^2}\,=\,19.098.593{,}17\,\text{Pa}\,\approx\,19{,}1\,\text{MPa}$

Auf die Eierschale wirkt trotz der geringen Kraft durch die sehr kleine Auflagefläche ein Druck von ca. 19,1 MPa.

Frage 3:

Am Nachmittag fahren beide zum traditionellen Ostertauchen ihres Tauchvereins. Die Wassertemperatur beträgt im Schnitt $10\,\text{°C}$ und manche Ostereier befinden sich in $6\,\text{m}$ Tiefe. 

1. Berechne, wie hoch der maximale Schweredruck auf Carina ist. 
2. Berechne, in welcher Tiefe sich Carina befindet, wenn der Druck auf sie ca. 40 kPa beträgt.

Hinweis: 

Teilaufgabe a

Berechne, wie hoch der maximale Schweredruck auf Carina ist. 

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Gegeben sind die Wassertemperatur und die maximale Tauchtiefe:

$\begin{align*} T\,&=\,10\,\text{°C} \\ t_{max} \,&= \,6\,\text{m} \end{align*}$

Mithilfe der gegeben Temperatur und der Tabelle können wir auch die Dichte bestimmen: 

$\rho_{10\,°C}\,=\,999{,}7\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Gesucht ist der maximale Schweredruck $p_{max}$.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Für den Schweredruck gilt die Formel: 

$p\,=\,\rho\,\cdot\,g\,\cdot\,h$

Wobei $h$ in diesem Fall die Höhe der Wassersäule und damit mit $t$ gleichzusetzen ist.

Da wir den maximalen Druck suchen, müssen wir die maximale Tauchtiefe einsetzen und erhalten so:

$p_{max}\,=\,\rho\,\cdot\,g\,\cdot\,t_{max}$

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Da das Gesuchte bereits auf der linken Seite der Formel steht, brauchen wir hier nichts umstellen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Alle Angaben liegen bereits in den Standardeinheiten vor, sodass du hier auch nichts weiter umzuwandeln brauchst.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun setzen wir alle Angaben in die obige Formel ein und erhalten: 

$p_{max}\,=\,\rho_{10\,°C}\,\cdot\,g\,\cdot\,t_{max}\,=\,999{,}7\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\,\cdot\,10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\,\cdot\,6\,\text{m}\,=\,59.982\,\text{Pa}\,\approx\,59{,}98\,\text{kPa}$

Auf Carina wirkt also maximal ein Schweredruck von 59,98 kPa.

Teilaufgabe b

Berechne, in welcher Tiefe sich Carina befindet, wenn der Druck auf sie ca. 40 kPa beträgt.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Aus Teilaufgabe a weißt du noch die Wassertemperatur und die damit verbundene Dichte des Wassers. Hinzu kommt nun noch die Angabe des Schweredrucks auf Carina:

$\begin{align*} T\,&=\,10\,\text{°C} \\ \rho_{10\,°C}\,&=\,999{,}7\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \\ p\,&=\,40\,\text{kPa}\end{align*}$

Gesucht ist die Tauchtiefe $t$ zu dem angegeben Druck.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Hier können wir auf Teilaufgabe a zurückgreifen:

$p\,=\,\rho\,\cdot\,g\,\cdot\,t$

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Gesucht ist hier nun die Tauchtiefe $t$:

$\begin{align*} p\,&=\,\rho\,\cdot\,g\,\cdot\,t &&\mid \,:(\rho\,\cdot\,g) \\ \frac{p}{\rho\,\cdot\,g}\,&=\,t \\ t\,&=\,\frac{p}{\rho\,\cdot\,g} \end{align*}$

Schritt 4:  Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Bei der Angabe des Schweredrucks nutzen wir die wissenschaftliche Schreibweise, wobei die Vorsilbe Kilo- für die Zehnerpotenz $10^3$ steht. Darum gilt: 

$p\,=\,40\,\text{kPa}\,=\,40\,\cdot\,10^3\,\text{Pa}$

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wenn wir nun die Angaben in die umgestellte Formel einsetzen, erhalten wir die Tauchtiefe:

$t\,=\,\frac{p}{\rho\,\cdot\,g}\,=\,\frac{40\,\cdot\,10^3\,\text{Pa}}{999{,}7\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\,\cdot\,10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\approx\,4\,\text{m}$

Carina muss sich also in einer Tiefe von 4 m befinden, wenn auf sie ein Schweredruck von 40 kPa wirkt.

Lösung

Frage 1 :

1. Der Auflagedruck beträgt etwa 564,1 Pa.
2. Der erhöhte Auflagedruck beträgt 733,33 Pa.

Frage 2 :

Auf die Eierschale wirkt trotz der geringen Kraft durch die sehr kleine Auflagefläche ein Druck von ca. 19,1 MPa.

Frage 3:

1. Auf Carina wirkt maximal ein Schweredruck von 59,98 kPa.
2. Carina muss sich also in einer Tiefe von 4 m befinden, wenn auf sie ein Schweredruck von 40 kPa wirkt.