Elektrische Energie berechnen

Aufgabe

1. Ein elektrischer Wasserkocher hat eine Spannung von \(230 \text{ V}\) und einen Widerstand von \(26{,}5 \,\Omega\). Wie viel Energie nutzt er, wenn er 2 Minuten in Betrieb ist? Gib die Energie in Joule und in Kilowattstunden an.
2. Ein handelsüblicher Fernseher hat eine Spannung von \(230 \text{ V}\) und eine Stromstärke von \(0{,}76 \text{ A}\). Wie viel Euro kostet es, diesen Fernseher einen Tag lang in Betrieb zu haben, wenn \(1 \text{ kWh}\) \(0{,}30 \,€\) kostet.
3. Ein Fernseher hat eine Leistung von \(175 \text{ W}\). Wie lange war er in Betrieb, wenn er \(1{,}14 \text{ kWh}\) genutzt hat?

Teilaufgabe a

Ein elektrischer Wasserkocher hat eine Spannung von \(230 \text{ V}\) und einen Widerstand von \(26{,}5 \,\Omega\). Wie viel Energie nutzt er, wenn er 2 Minuten in Betrieb ist? Gib die Energie in Joule und in Kilowattstunden an.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Als Erstes musst du herausfinden, was in der Aufgabe gegeben und gesucht ist. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die elektrische Energie, die ein Wasserkocher nutzt, gesucht ist. Die Spannung, der Widerstand und die Zeit, die der Wasserkocher in Betrieb ist, sind gegeben. Es folgt also:

Gegeben:

• Spannung: \(U=230 \text{ V}\)
• Widerstand: \(R=26{,}5 \,\Omega\)
• Zeit: \(t=2 \text{ min}\)

Gesucht:

• elektrische Energie: \(E_{el}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Mithilfe von elektrischer Energie kann elektrischer Strom Wärme abgeben, mechanische Arbeit verrichten oder sogar Licht aussenden. Viele elektrische Geräte nutzen die elektrische Energie, so auch der elektrische Wasserkocher in dieser Teilaufgabe. Um sie zu berechnen, brauchst du folgende Formel:

\(E_{el}=U\cdot I\cdot t\)

Wenn du dir diese Formel aber genauer anschaust, wirst du feststellen, dass dir noch die Stromstärke \(I\) fehlt, um die Energie zu berechnen. Da du aber den Widerstand \(R\) und die Spannung \(U\) gegeben hast, kannst du die Stromstärke \(I\) mithilfe des ohmschen Gesetzes berechnen. Dieses musst du aber im nächsten Schritt noch zur Stromstärke \(I\) umstellen.

\(U=R\cdot I\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Die Formel für die elektrische Energie muss nicht mehr umgestellt werden. Wie im vorherigen Schritt bereits angesprochen, muss aber das ohmsche Gesetz noch zur Stromstärke \(I\) umgestellt werden

\(\begin{align*} U&=R\cdot I &&\mid:R\\ I&=\frac{U}{R} \end{align*}\)

Wenn dir das Umstellen noch Probleme bereitet, dann kannst du natürlich auch hier das Formeldreieck verwenden.

\(\huge {\frac {U} {R\cdot I}}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Als Nächstes prüfst du, ob alle Einheiten zusammenpassen. Da du vor der Berechnung der elektrischen Energie \(E_{el}\) noch die Stromstärke \(I\) berechnest, beginne auch hier mit dem Überprüfen der Einheiten.

Die Einheiten von Widerstand, Spannung und Stromstärke passen zusammen.

\([I]=\text{A}\)       \([U]=\text{V}\)      \([R]=\Omega=\frac{\text{V}}{\text{A}}\)

Auch die Einheit der elektrischen Energie passt ohne Umrechnen dazu.

\([E_{el}]=\text{J}=\text{Ws}=\text{VAs}\)

Nur die Einheit der Zeit musst du noch von Minuten in Sekunden umrechnen, damit alles zusammenpasst.

\(2 \text{ min}=2\cdot60\text{ s}=120 \text{ s}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein

Jetzt kannst du zunächst alle Werte in die Formel für die Stromstärke einsetzen und diese ausrechnen.

\(\begin{align*} I&=\frac{U}{R}\\ I&=\frac{230 \text{ V}}{26{,}5\,\Omega}=\frac{230\, \cancel{\text{V}}}{26{,}5\,\frac{\cancel{\text{V}}}{\text{A}}}\\ I&=8{,}7\text{ A} \end{align*}\)

Die Stromstärke kannst du nun in die Formel für die elektrische Energie einsetzen.

\(\begin{align*} E_{el}&=U\cdot I\cdot t\\ &=230 \text{ V}\cdot 8{,}7\text{ A}\cdot 120\text{ s}\\ &=240120\text{ VAs}=240120\text{ Ws}=240120\text{ J}\\ &\stackrel{:1000}{=}240{,}12 \text{ kWs}=\frac{240{,}12}{3600}\text{ kWh}\\ &=0{,}07 \text{ kWh} \end{align*}\)

Um die Energie von Joule in Kilowattstunden umzurechnen, musst du dein Ergebnis durch \(1000\) dividieren. So erhältst du nämlich Kilowatt. Des Weiteren kannst du durch \(3600\) dividieren, um von Sekunden auf Stunden zu kommen.

Die elektrische Energie, die ein Wasserkocher in 2 Minuten nutzt, beträgt also \(240120 \text{ J}\) beziehungsweise \(0{,}07 \text{ kWh}\).

Teilaufgabe b

Ein handelsüblicher Fernseher hat eine Spannung von \(230 \text{ V}\) und eine Stromstärke von \(0{,}76 \text{ A}\). Wie viel Euro kostet es, diesen Fernseher einen Tag lang in Betrieb zu haben, wenn \(1 \text{ kWh}\) \(0{,}30 \,€\) kostet.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Bei dieser Aufgabe ist wieder die elektrische Energie \(E_{el}\) gesucht, du sollst aber zusätzlich auch noch berechnen, wie viel Geld du für die genutzte Energie bezahlen musst. Hierfür ist der Preis für eine Kilowattstunde angegeben, des Weiteren sind in der Aufgabe die Spannung und die Stromstärke des Fernsehers und die Dauer der Nutzung angegeben. Es folgt also:

Gegeben:

• Spannung: \(U=230\text{ V}\)
• Stromstärke: \(I=0,76\text{ A}\)
• Nutzungsdauer: \(t=1\text{ d}\)
• Preis pro Kilowattstunde: \(p=0{,}30\frac{€}{\text{ kWh}}\)

Gesucht:

• elektrische Energie: \(E_{el}\)
• Kosten der Nutzung: \(K\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Als Erstes musst du wieder die elektrische Energie berechnen. Du kannst also die gleiche Formel wie in Teilaufgabe a nutzen.

\(E_{el}=U\cdot I \cdot t\)

Um die Kosten für die Nutzung dieser elektrischen Energie zu berechnen, nutzt du am besten folgende Formel:

\(K=E_{el}\cdot p\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Sowohl die Formel für die elektrischen Energie als auch die Formel für die Kosten ist bereits zum Gesuchten umgestellt. Du kannst also direkt mit dem nächsten Schritt weitermachen und die gegebenen Werte in die richtige Einheit umrechnen.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Zunächst schaust du, ob die Einheit der Spannung, der Stromstärke und der Zeit mit der Einheit der elektrischen Energie zusammenpassen. Wie in Teilaufgabe a bereits festgestellt, passen die Einheiten der Spannung und der Stromstärke. Da wir in dieser Teilaufgabe die Energie in Kilowattstunden brauchen, um den Preis berechnen zu können, müssen wir die Einheit der Zeit noch in Stunden umrechnen.

\([U]=\text{V}\)     \([I]=\text{A}\)     \([E_{el}]=\text{kWh}\)

\(t=1\text{ d}=24\text{ h}\)

Die Einheiten der elektrischen Energie und des Preises passen mit der Einheit der Kosten zusammen.

\([E_{el}]=\text{kWh}\)     \([p]=\frac{€}{\text{kWh}}\)     \([K]=\text{€}\) 

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein

Jetzt kannst du alle Werte zunächst in die Formel für die elektrische Energie einsetzen.

\(\begin{align*} E_{el}&=U\cdot I \cdot t\\ &=230\text{ V}\cdot 0{,}76\text{ A}\cdot 24\text{ h}\\ &=4195{,}2\text{ Wh}\\ &=4{,}2\text{ kWh} \end{align*}\)

Wie bei Teilaufgabe a kannst du auch hier das Ergebnis durch 1000 dividieren, um die Wattstunden in Kilowattstunden umzurechnen.

Nun kannst du mithilfe der berechneten elektrischen Energie die Kosten berechnen.

\(\begin{align*} K&=p\cdot E\\ &=0{,}30\, \frac{€}{\cancel{\text{kWh}}}\cdot 4{,}2\,\cancel{\text{kWh}}\\ &=1{,}26 \, €\\ \end{align*}\)

Den Fernseher einen Tag lang in Betrieb zu haben, kostet also \(1{,}26 \text{ €}\).

Teilaufgabe c

Ein Fernseher hat eine Leistung von \(175 \text{ W}\). Wie lang war er in Betrieb, wenn er \(1{,}14 \text{ kWh}\) genutzt hat?

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Bei dieser Aufgabe wird die Zeit \(t\) gesucht, die der Fernseher in Betrieb war. Die Leistung des Fernsehers und die genutzte Energie sind gegeben. Es folgt also:

Gegeben:

• Leistung des Fernsehers: \(P=175\text{ W}\)
• genutzte Energie: \(E=1{,}14 \text{ kWh}\)

Gesucht:

• Betriebsdauer: \(t\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Da du die Leistung und die elektrische Energie gegeben hast, kannst du wieder die Formel für die elektrische Energie nutzen, um die Betriebsdauer auszurechnen. Wie du sicherlich weißt, ist das Produkt aus der Spannung und der Stromstärke die Leistung, sodass du die Formel der elektrischen Energie auch wie folgt schreiben kannst:

\(\begin{align*} E&=U\cdot I\cdot t\\ &=P\cdot t \end{align*}\)

Diese Formel musst du allerdings im nächsten Schritt noch nach \(t\) umstellen.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Nun musst du die Formel nach der Zeit umstellen, indem du durch die Leistung dividierst.

\(\begin{align*} E&=P\cdot t &&\mid:P\\ t&=\frac{E}{P} \end{align*}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Bevor du nun die Werte in die Formel einsetzt, musst du erst wieder überprüfen, ob die Einheiten zusammenpassen. Die Leistung ist in Watt, die Energie allerdings in Kilowattstunden angegeben. Du solltest die Energie also besser in Wattstunden umrechnen.

\([P]=\text{W}\)      \([E_{el}]=\text{kWh}\)

\(E_{el}=1{,}14\text{ kWh}=1140\text{ Wh}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein

Jetzt kannst du alle Werte in die Formel einsetzen und die Betriebsdauer ausrechnen.

\(\begin{align*} t&=\frac{E}{P}\\ &=\frac{1140 \,\cancel{\text{W}}\text{h}}{175\,\cancel{\text{W}}}\\ &=6{,}5\text{ h} \end{align*}\)

Der Fernseher war also \(6{,}5 \text{ h}\) in Betrieb.

Lösung

1. Die elektrische Energie, die ein Wasserkocher in 2 Minuten nutzt, beträgt \(240120 \text{ J}\) beziehungsweise \(0{,}07 \text{ kWh}\).
2. Den Fernseher einen Tag lang in Betrieb zu haben, kostet \(1{,}26 \text{ €}\).
3. Der Fernseher war \(6{,}5 \text{ h}\) in Betrieb.