In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0),\ A(9|12|0),\ B(-3|21|0),\ C(-12|9|0)\) und \(S(-1,5|10,5|15)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC\) ist (siehe Abbildung).
Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.
Aufgabe 2
34 Minuten14 Punkte
(1)
Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.
(2)
Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).
(6 + 8 Punkte)
Aufgabe 3
36 Minuten15 Punkte
(1)
Zeigen Sie, dass der Punkt \(R (5|15|0)\) auf der Strecke \(AB\) liegt.
(2)
Zeigen Sie, dass die Strecke \(OR\) die Grundfläche der Pyramide im Verhältnis \(5:1\) bzw. \(1:5\) teilt.
(3)
Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(O\), \(Q(1|1|2)\) und \(R\) festgelegt ist.
[Mögliches Ergebnis: \(E: 3x_1-x_2-x_3=0\)]
(3 + 5 + 7 Punkte)
Aufgabe 4
50 Minuten21 Punkte
(1)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(P\) der Geraden \(g\) durch \(S\) und \(A\) mit der Ebene \(E\) aus Aufgabe b) (3). [Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist \(P(5,5|11,5|5)\).]
(2)
Weisen Sie nach, dass die Strecken \(\overline {OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zur Geraden \(g\) verlaufen.
(3)
Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.
(4)
Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\)\((N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist. Begründen Sie diese Aussage und beschreiben Sie die Lage des Punktes \(N\).
