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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest

Aufgabe

Die drei Widerstände R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω und R3 = 120 Ω sind in dem in der Skizze dargestellten Stromkreis zusammengeschaltet. Die Gesamtstromstärke Iges beträgt 0,5 A.

                  Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 1

  1. Berechne den Gesamtwiderstand und die Gesamtspannung.
  2. Berechne die Teilstromstärken und Teilspannungen an den einzelnen Widerständen.

Teilaufgabe a)

Berechne den Gesamtwiderstand und die Gesamtspannung.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Bei Stromkreisen sind die wichtigsten Größen fast immer:

  • die elektrische Spannung \(U\),
  • die Stromstärke \(I\) und
  • der Widerstand \(R\).

Es gibt aber nicht nur eine Gesamtspannung \(U_\mathrm{ges}\) und eine Gesamtstromstärke \(I_\mathrm{ges}\). Es gibt auch für jeden einzelnen Widerstand (\(R_1 \)\(R_2\) und \(R_3\)) der Schaltung Teilspannungen (\(U_1\), \(U_2\) und \(U_3\)) und Teilstromstärken (\(I_1\), \(I_2\) und \(I_3\)).

Um das nicht durcheinanderzubringen, benennst du am besten alle Größen ganz übersichtlich.

Gesamt:

Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 2

Teile:                    

            
Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 3

\(U_\mathrm{ges}\) und \(I_\mathrm{ges}\) sind die Spannung und die Stromstärke über dem gesamten Stromkreis. Und \(U_1\) ist nur die Spannung über dem Teilwiderstand \(R_1\).

Und jetzt ist auch gut zu sehen, was gegeben ist.

Teilwiderstände: \(\begin{align*}\color{green}{R_1} &= 10~\Omega \\\color{green}{R_2} &= 40~\Omega \\\color{green}{R_3} &= 120~\Omega \end{align*} \)

Gesamtstromstärke: \(\color{green}{I_\mathrm{ges}} = 0{,}5~\mathrm{A}\)

Und gesucht ist:

Gesamtwiderstand: \(\color{red}{R_\mathrm{ges}} =\ ?\)

Gesamtspannung: \(\color{red}{U_\mathrm{ges}} =\ ?\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Jetzt ist die Frage, welche Formeln du brauchst.

Erstens

Zunächst interessierst du dich für den Gesamtwiderstand \(R_\mathrm{ges}\) und kennst nur die Teilwiderstände.

                               
Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 4

Schau dir bitte die Skizze in der Aufgabenstellung genau an! Du kannst erkennen, dass die Anordnung der Widerstände \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) nicht ganz gleichmäßig ist: \(R_2\) und \(R_3\) bilden nämlich eine Parallelschaltung. Diese Parallelschaltung ist wiederum in Reihe geschaltet mit \(R_1\). Um solch eine gemischte Schaltung zu berechnen, benutzt man Ersatzwiderstände.

Im Bild ist der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung \(\color{magenta}{R_{2\,+\,3}}\) benannt. Du kannst ihn aber nennen, wie du willst; Hauptsache, du kannst dir das gut merken!

Wenn zwei Widerstände \(R_\mathrm{para 1}\) und \(R_\mathrm{para 2}\) parallel geschaltet sind, dann ist der Gesamtwiderstand dieser Parallelschaltung:

\(\frac{1}{R_\mathrm{para~ges}} = \frac{1}{R_\mathrm{para~1}} + \frac{1}{R_\mathrm{para~2}} \)

In dieser Aufgabe heißen die beiden Widerstände in der Parallelschaltung \(R_2\) und \(R_3\). Und ihr Gesamtwiderstand lautet:

\(\frac{1}{\color{magenta}{R_{2+3}}} = \frac{1}{\color{green}{R_\mathrm{2}}} + \frac{1}{\color{green}{R_\mathrm{3}}}\)

Dies ist der Ersatzwiderstand.

Und der Gesamtwiderstand von zwei Widerständen, die in Reihe geschaltet sind, lautet:

\(R_\mathrm{Reihe~ges}= R_\mathrm{Reihe~1} + R_\mathrm{Reihe~2}\)

Wenn du dir noch einmal das letzte Bild anguckst, kannst du erkennen, dass die Reihenschaltung aus \(R_1\) und dem Ersatzwiderstand \(R_{2+3}\) besteht. Das heißt:

\(\color{red}{R_\mathrm{ges}} = \color{green}{ R_1}+ R_{2+3}\)

Zweitens

Wenn eine Aufgabe zu Stromkreisen kommt, dann führt kein Weg an einer ganz bestimmten Formel vorbei, nämlich am ohmschen Gesetz.

\(R = \frac{U}{I}\)

Anmerkung: Jetzt wird es auch nützlich, dass du so übersichtliche Namen für deine Widerstände, Spannungen und Stromstärken gewählt hast.

Denn jetzt gilt einfach: \(\begin{align*}R_\mathrm{ges} &= \frac{U_\mathrm{ges}}{I_\mathrm{ges}}\\ R_1 &=\frac{ R_1}{ I_1}\\ R_2 &=\, ...\end{align*}\)

Wenn du irgendwo eine Stromkreisskizze siehst, schreib am besten sofort das ohmsche Gesetz hin, das benötigst du fast immer!

Da ja \(I_\mathrm{ges}\) gegeben ist und du zuerst \(R_\mathrm{ges}\) ausrechnest, kannst du mit dem ohmschen Gesetz anschließend einfach \(U_\mathrm{ges}\) finden.

\(\color{red}{U_\mathrm{ges}} = R_\mathrm{ges} \cdot \color{green}{I_\mathrm{ges}}\)

Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um

Zuerst stellst du also die Formel für \(R_{2+3}\) um.

\(\frac{1}{R_{2+3}} = \frac{1}{\color{green}{R_\mathrm{2}}} + \frac{1}{\color{green}{R_\mathrm{3}}} \quad\quad\)| bilde den Kehrwert auf beiden Seiten

<=>

\(R_{2+3} = \frac{1}{(\frac{1}{\color{green}{R_2}}+\frac{1}{\color{green}{R_3})}}\)

Bitte denk daran, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt. Du musst zuerst \(\frac{1}{R_1}\) und \(\frac{1}{R_2}\) addieren und erst danach den Kehrwert bilden! Das bringt man schnell mal durcheinander.

Die Formel für die Reihenschaltung braucht nicht umgestellt zu werden.

\(\color{red}{R_\mathrm{ges}} = \color{green}{R_1} + R_{2+3}\)

Und mit dem ohmschen Gesetz findest du dann auch die Gesamtspannung über den Stromkreis.

\(\color{red}{U_\mathrm{ges}} = \color{red}{R_\mathrm{ges}} \cdot \color{green}{ I_\mathrm{ges}}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Damit dein Ergebnis auch in einer sinnvollen Einheit erscheint, überprüfe vor dem Einsetzen immer, dass alle Größen in ihrer Standardeinheit stehen. Das sind:

• Stromstärke \(I\): Ampere A

• Spannung \(U\):  Volt V

• Widerstand \(R\): Ohm \(\Omega\)

Und diese drei vertragen sich auch prima, denn:

\(1~\Omega = 1~\mathrm{\frac{V}{A}}\)

Wenn du die Aufgabenstellung noch einmal durchgehst, dann siehst du, dass alle Angaben schon in \(\Omega\) und A sind. Du braucht also nichts mehr umzurechnen. Aber gut, dass du das trotzdem überprüft hast!

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Und jetzt musst du nur noch einsetzen. Zuerst kümmerst du dich um \(R_{2+3}\).

\(\large R_{2+3} = \frac{1}{(\frac{1}{\color{green}{R_2}}+\frac{1}{\color{green}{R_3})}}= \frac{1}{(\frac{1}{40~\Omega}+\frac{1}{120~\Omega})} \)

Wenn du genau auf die Klammern achtest, dann kannst du diese Formel auch bereits in den Taschenrechner eingeben.

Aber du kannst das natürlich auch Schritt für Schritt machen. Dazu musst du erst einmal die zwei Brüche in der Klammer addieren. 

\(R_{2+3} = \frac{1}{(\frac{1}{40~\Omega}+\frac{1}{120~\Omega})} = \frac{1}{(\frac{3}{120~\Omega}+\frac{1}{120~\Omega})} = \frac{1}{\color{black}{(\frac{4}{120\,\Omega})}} = \color{blue} {\frac{1}{\color{black}{(\frac{1}{30\,\Omega})}}} = \color{blue}{1}\cdot \frac{30~\Omega}{1} = 30~\Omega\)

Achte auch darauf, wie man mit der Einheit umgeht: \(30~\Omega\) steht ja in einem Bruch unter einem Bruch! Und wie teilt man durch einen Bruch? Genau, indem man mit dem Kehrwert malnimmt.

Und jetzt kannst du dich \(R_\mathrm{ges}\) widmen.

\(\color{red}{R_\mathrm{ges}} = \color{green}{R_1} + R_{2+3} = 10~\Omega + 30~\Omega = 40~\Omega\)

Damit hast du also \(R_\mathrm{ges}\) bestimmt. Und jetzt geht \(U_\mathrm{ges}\) ganz schnell.

\(\color{red}{U_\mathrm{ges}} = \color{red}{R_\mathrm{ges}} \cdot \color{green}{I_\mathrm{ges}} = 40~\Omega \cdot 0,5~\mathrm{A} = 20~\mathrm{V}\)

Der Gesamtwiderstand des Stromkreises beträgt \(40~\Omega\) und die Gesamtspannung über den Stromkreis \(20 \ \mathrm{V}\).

Teilaufgabe b)

Berechne die Teilstromstärken und Teilspannungen an den einzelnen Widerständen.

Schritt 1: Finde, was gegeben und was gesucht ist

In dieser Aufgabe wirst du vor allem sehen, wie sich die Spannungen und Stromstärken in Reihen- und Parallelschaltungen verhalten.

Also, was ist gegeben?

\(\color{green}{R_1}= 10~\Omega\\ \color{green}{R_2} = 40~\Omega\\ \color{green}{R_3} = 120~\Omega \)

\(\color{green}{I_\mathrm{ges}} = 0{,}5~\mathrm{A}\)

Und außerdem hast du aus der vorigen Teilaufgabe ausgerechnet:

\(\begin{align} \color{green}{R_\mathrm{ges}}&=40~\Omega\\ \color{green}{R_{2+3}} &= 30~\Omega\\ \color{green}{ U_\mathrm{ges}}&=20~\mathrm{V} \end{align}\)

Und es ist gesucht:

\(\color{red}{U_1} =\ ?,~\color{red}{I_1} =\ ?\\ \color{red}{U_2} =\ ?,~\color{red}{I_2} =\ ?\\ \color{red}{U_3} =\ ?,~\color{red}{I_3} =\ ?\\\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Natürlich brauchst du wieder das ohmsche Gesetz.

\(R=\frac{U}{I}\)

Zusätzlich zum ohmschen Gesetz musst du diesmal noch wissen:

  • wie sich der Strom und die Spannung in einer Reihenschaltung verhalten und
  • wie sich der Strom und die Spannung in einer Parallelschaltung verhalten.

Dabei ist das Wichtigste, dass du aufpasst, woraus deine Reihenschaltung und woraus deine Parallelschaltung besteht.

Die Parallelschaltung besteht hier aus \(R_2\) und \(R_3\). Und die Reihenschaltung besteht dann aus \(R_1\) und dem Ersatzwiderstand \(R_{2+3}\).

In einer Reihenschaltung gilt für den Strom, dass er über alle Widerstände hinweg gleich bleibt. Als Formel geschrieben wird das:

\(I_\mathrm{Reihe~ges}=I_\mathrm{Reihe~1} = I_\mathrm{Reihe~2}\)

Und in dieser Aufgabe sind ja die Reihenwiderstände \(R_1\) und \(R_{2+3}\). Deshalb wird daraus:

\(\color{green}{I_\mathrm{ges}}=\color{red}{I_1} = I_\mathrm{2+3}\)

Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 5

Und ganz ähnlich ist das mit der Spannung in einer Parallelschaltung. Über jeden Widerstand in einer Parallelschaltung ist die Spannung gleich.

\(U_\mathrm{para~ges}=U_\mathrm{para~1} = U_\mathrm{para~2}\)

Und weil ja die Widerstände in dieser Parallelschaltung \(R_2\) und \(R_3\) sind, heißt das:

\(U_\mathrm{2+3}=\color{red}{U_2} = \color{red}{U_3}\)

                
Wie du mit einem Ersatzwiderstand rechnest - Abbildung 6  

Und schon hast du alles beisammen.

Anmerkung

Hier sind die Formeln für die Stromstärke in einer Reihenschaltung und die Spannung in einer Parallelschaltung vorgeschlagen. Die reichen hier nämlich völlig aus und sind so schön simpel. Du kannst es aber genauso gut umgekehrt machen, indem du stattdessen die Formeln für die Spannung in einer Reihenschaltung verwendest, also \(U_\mathrm{Reihe~ges} = U_\mathrm{Reihe~1} + U_\mathrm{Reihe~2}\), und für die Stromstärke in Parallelschaltungen, also \(I_\mathrm{para~ges} = I_\mathrm{para~1} + I_\mathrm{para~2}\). Das würde auch funktionieren und sie stehen auch in deiner Formelsammlung. Aber du brauchst eben nur jeweils eine Formel pro Schaltungsart.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Das Schwierigste an dieser Aufgabe ist, dass es so furchtbar viele Größen gibt und du die Übersicht behalten musst. Aber wenn du alles ordentlich benannt hast, brauchst du bloß fleißig die Gegeben-und-gesucht-Liste abzuarbeiten.

Beim Formelumstellen kannst du auch ein Formeldreieck zu Hilfe nehmen.                   

\(\Huge \frac{U}{R\;\cdot\;I}\)

Du kannst anfangen, wo du magst, zum Beispiel beim Widerstand R1.

Die Formel für den Strom in Reihenschaltungen verrät ja schon:

\(\color{red}{I_1} = \color{green}{I_\mathrm{ges}}\)

Und da jetzt die Stromstärke \(I_1\) feststeht und der Widerstand \(R_1\) gegeben ist, gibt das ohmsche Gesetz die Spannung.

\(\color{green}{R_1}=\frac{\color{red}{U_1}}{\color{red}{I_1}}\quad\quad \mid \cdot \color{red}{I_1}\\ \color{red}{U_1} = \color{green}{R_1} \cdot \color{red}{I_1} = \color{green}{R_1} \cdot \color{green}{I_\mathrm{ges}}\)

Nun ist alles schön grün!

Und nun zur Parallelschaltung. Aus der Formel für die Spannung über Parallelschaltungen weißt du:

\(U_{2+3}= \color{red}{U_2} = \color{red}{U_3}\)

Und \(U_{2+3}\) kannst du mit dem ohmschen Gesetz aurechnen, weil ja \(R_{2+3}\) gegeben ist und du schon in Schritt 2 gesehen hast, dass \(I_{2+3} = I_\mathrm{ges}\) gilt.

\(U_{2+3} = \color{green}{R_{2+3}} \cdot I_{2+3} = \color{green}{R_{2+3}} \cdot \color{green}{I_\mathrm{ges}} = \color{red}{U_2} = \color{red}{U_3}\)

Zuletzt musst du noch die Stromstärken \(I_2\) und \(I_3\) mit dem ohmschen Gesetz ausrechnen. \(R_2\) und \(R_3\) sind ja gegeben und \(U_2\) und \(U_3\) hast du soeben ausgerechnet. Ein Blick auf das Formeldreieck verrät:

\(\color{red}{I_2} = \frac{\color{red}{U_2}}{\color{green}{R_2}}\)

\(\color{red}{I_3} = \frac{\color{red}{U_3}}{\color{green}{R_3}}\)

Wenn du jetzt einen Blick auf die Gegeben-und-gesucht-Liste wirfst, siehst du, dass du alles beisammen hast.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Hier ist nicht viel zu tun. Vergewissere dich noch einmal, dass alles Gegebene auch in \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{V}\) und \(\Omega\) steht, dann kann dir mit den Einheiten nicht mehr viel passieren.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

 Da ja alle Formeln sehr kurz sind, listest du sie einfach noch mal auf.

\(\begin{align} \color{red}{I_1}&= \color{green}{I_\mathrm{ges}} = 0{,}5~\mathrm{A}\\ \color{red}{U_1} &= \color{green}{R_1}\cdot \color{red}{I_1} = 10~\Omega \cdot 0{,}5~\mathrm{A} = 5~\mathrm{V} \end{align}\)

\(\begin{align*}\color{red}{U_2} &= \color{red}{U_3} = \color{green}{R_{2+3}} \cdot \color{green}{I_\mathrm{ges}} = 30~\Omega \cdot 0{,}5~\mathrm{A} = 15~\mathrm{V}\\ \color{red}{I_2} &= \frac{\color{red}{U_2}}{\color{green}{R_2}} = \frac{15~\mathrm{V}}{40~\Omega} = 0{,}375~\mathrm{A}\\ \color{red}{I_3} &= \frac{\color{red}{U_3}}{\color{green}{R_3}} = \frac{15~\mathrm{V}}{120~\Omega} = 0{,}125~\mathrm{A}\end{align*} \)

Übrigens kannst du mit den beiden Formeln aus Schritt 2, die wir nicht benutzt haben, jetzt ganz bequem dein Ergebnis überprüfen.

Wenn man alle Spannungen einer Reihenschaltung addiert, muss die Gesamtspannung herauskommen. Und, tut sie das auch?

\(U_1 + U_{2+3} = 5~\mathrm{V} + 15~\mathrm{V} = 20~\mathrm{V} = U_\mathrm{ges}\)

Das kommt genau hin!

Und in einer Parallelschaltung müssen alle Teilströme addiert den Gesamtstrom ergeben. Mal sehen:

\(I_2 + I_3 = 0{,}375~\mathrm{A} + 0{,}125~\mathrm{A} = 0,5~\mathrm{A} = I_\mathrm{ges} = I_\mathrm{2+3}\)

Auch das stimmt! Offenbar hast du alles richtig gemacht.

Die Teilspannungen im gegebenen Stromkreis betragen \(U_1 = 5~\mathrm{V}\), \(U_2 = 15~\mathrm{V}\) und \(U_3 = 15~\mathrm{V}\). Die Teilstromstärken sind \(I_1 = 0{,}5~\mathrm{A}\), \(I_2 = 0{,}375~\mathrm{A}\) und \(I_3 = 0{,}125~\mathrm{A}\).

Lösung

  1. Der Gesamtwiderstand des Stromkreises beträgt \(40~\Omega\) und die Gesamtspannung über den Stromkreis \(20\ \mathrm{V}\).
  2. Die Teilspannungen im gegebenen Stromkreis betragen \(U_1 = 5~\mathrm{V}\), \(U_2 = 15~\mathrm{V}\) und \(U_3 = 15~\mathrm{V}\). Die Teilstromstärken sind \(I_1 = 0{,}5~\mathrm{A}\), \(I_2 = 0{,}375~\mathrm{A}\) und \(I_3 = 0{,}125~\mathrm{A}\).
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