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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit der Formel für Linsen rechnest

Aufgabe

In einer Kiste dringt Licht durch eine Linse mit einer Brennweite von 0,1 m ein. Die Kiste ist 15 cm tief und an ihrer Rückwand (also an der Seite gegenüber der Linse) entsteht ein 2 cm großes Bild einer Spielzeugfigur.

  1. Wie weit ist die Figur von der Linse entfernt?
  2. Wie groß ist die Figur in Wirklichkeit?

Wie du mit der Formel für Linsen rechnest - Abbildung 1

Teilaufgabe a)

Hier zeige ich dir zunächst, wie man die Teilaufgabe a) rechnet. Die Frage lautet:

Wie weit ist die Figur von der Linse entfernt?

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Wie du mit der Formel für Linsen rechnest - Abbildung 2

Gegeben ist:

  • Brennweite: 0,1 m
  • Bild von Linse: 15 cm
  • Bildgröße: 2 cm

Und gesucht ist: 

  • Entfernung Figur und Linse

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Uns ist die Brennweite gegeben und außerdem wissen wir, wie weit das Bild von der Linse entfernt entsteht. Die Entfernung von Bild und Linse wird auch Bildweite genannt. Also kennen wir die Brennweite und die Bildweite.

Nun wollen wir wissen, wie weit die Figur von der Linse entfernt ist, also die Gegenstandsweite.

Es gibt eine Formel, die diese drei Größen miteinander verbindet. Diese Formel ist die Linsengleichung:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\)

Dabei bezeichnet \(f\) die Brennweite, \(b\) die Bildweite und \(g\) die Gegenstandsweite.

Wenn du mehr über die Linsengleichung wissen möchtest, kannst du dir das Erklärvideo zu Linsen anschauen.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Du möchtest die Gegenstandsweite wissen, also musst du die Formel nach \(g\) umstellen.

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{\color{red}{g}}\)

Die Umstellung dieser Formel nach \(g\) ist etwas umständlicher. Deswegen werde ich dir hier die Schritte einzeln zeigen.

Zunächst kannst du \(\frac{1}{b}\) subtrahieren, damit \(\frac{1}{g}\) allein steht.

\(\frac{1}{\color{red}{g}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b}\)

Als Nächstes kannst du die Brüche auf der rechten Seite auf denselben Nenner bringen. Falls du damit nicht vertraut bist, solltest du dich in der Mathematik über Brüche informieren. Nachdem du die Brüche auf denselben Nenner gebracht hast, erhältst du:

\(\frac{1}{\color{red}{g}} = \frac{b}{b\,\cdot\,f} - \frac{f}{b\,\cdot\,f}\)

Da die Brüche auf der rechten Seite nun den gleichen Nenner haben, kannst du sie einfach subtrahieren.

\(\frac{1}{\color{red}{g}} = \frac{b\,-\,f}{b\,\cdot\,f}\)

Da du jetzt auf beiden Seiten reine Brüche hast, kannst du nun den Kehrwert von beiden bilden und erhältst:

\(\color{red}{g} = \frac{b\,\cdot\,f}{b\,-\, f}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Nun musst du die gegebenen Werte noch in passende Einheiten umrechnen. Die Brennweite ist 0,1 m und die Bildweite ist 15 cm. Die Einheiten passen nicht zueinander und daher muss eine umgerechnet werden. Ob du jetzt alles in m oder alles in cm ausdrückst, macht eigentlich keinen Unterschied. Allerdings ist die Bildgröße auch in cm angegeben und daher liegt es hier nahe, in cm zu arbeiten, um später nicht eventuell noch mal die Einheiten umrechnen zu müssen.

Also solltest du hier 0,1 m in cm umrechnen. 100 cm sind 1 m, also musst du deine Größe in m mal 100 rechnen, um die Größe in cm zu erhalten.

\(0{,}1 \ \text{m} = 100 \cdot 0{,}1 \, \text{cm} = 10 \ \text{cm}\)

Somit ist die Brennweite der Linse 10 cm.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Zum Schluss musst du noch die Werte in die Formel einsetzen.

\(g = \frac{15 \ \text{cm}\, \cdot\, 10 \ \text{cm}}{15 \ \text{cm}\, -\, 10 \ \text{cm}}\)

Da im Nenner eine Subtraktion steht, bleibt die Einheit cm. Im Zähler steht dagegen eine Multiplikation und somit müssen die cm quadriert werden.

\(g = \frac{(15\,\cdot\, 10) \ \text{cm}^{2}}{(15\, -\, 10) \ \text{cm}} = \frac{150 \ \text{cm}^{\cancel{2}}}{5 \ \cancel{\text{cm}}} = 30 \ \text{cm}\)

Die cm im Nenner kürzen sich mit dem Quadrat im Zähler und somit bleibt als Einheit cm.

Die Gegenstandsweite beträgt also 30 cm.

Teilaufgabe b)

Nun zeige ich dir noch, wie man die Teilaufgabe b) rechnet. Die Frage lautet:

Wie groß ist die Figur in Wirklichkeit?

Schritt 1: Finde, was gesucht und was gegeben ist

Schau dir zunächst an, was dir gegeben ist und was du suchst.

Wie du mit der Formel für Linsen rechnest - Abbildung 3

Gegeben ist:

  • Brennweite: 0,1 m
  • Bildweite: 15 cm
  • Bildgröße: 2 cm

Und aus a):

  • Gegenstandsweite: 30 cm

Gesucht ist:

  • Gegenstandsgröße

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Du möchtest die Gegenstandsgröße wissen und kennst sowohl die Bildgröße als auch die Gegenstandsweite und die Bildweite. Es gibt eine Formel, die diese vier Größen miteinander verbindet, nämlich die Abbildungsgleichung.

\(\frac{G}{B} = \frac{g}{b}\)

Hier bezeichnet \(G\) die Gegenstandsgröße, \(B\) die Bildgröße und, wie vorhin, \(g\) die Gegenstandsweite und \(b\) die Bildweite.

Wenn du noch Fragen zu der Abbildungsgleichung hast, kannst du dir das Erklärvideo zu Linsen anschauen.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Du möchtest die Gegenstandsgröße \(G\) wissen, also musst du die Formel zunächst nach dieser umstellen.

\(\frac{\color{red}{G}}{B} = \frac{g}{b}\)

Hierzu musst du die ganze Gleichung mit \(B\) multiplizieren, dann erhältst du:

\(\color{red}{G} = \frac{g\, \cdot\, B}{b}\)

Du kannst das Ganze auch über ein Formeldreieck machen, das so aussieht:

\(\huge\frac{G\,\cdot\,b}{B\,\cdot\,g}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Als Nächstes musst du noch alle gegebenen Werte in die passenden Einheiten umrechnen. Die Bildweite \(b\) beträgt 15 cm und bei der Teilaufgabe a) hast du für die Gegenstandsweite \(g\) 30 cm ausgerechnet. Nun ist die Bildgröße \(B\) mit 2 cm angegeben. Somit sind alle Werte in cm und müssen nicht umgerechnet werden.

Hier siehst du den Vorteil, bei Teilaufgabe a) darauf geachtet zu haben, welche Einheit die Bildgröße hat. Hättest du nämlich vorher in m umgerechnet, wäre dein Ergebnis in m gewesen und du hättest jetzt noch mal umrechnen müssen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Zuletzt musst du noch die Werte in die Formel einsetzen, um dein Ergebnis zu erhalten.

\(G = \frac{30 \ \text{cm}\, \cdot\, 2 \, \text{cm}}{15 \ \text{cm}}\)

Im Zähler erhältst du wieder bei den cm ein Quadrat, das sich mit den cm im Nenner kürzt.

\(G = \frac{30\,\cdot\, 2 \, \text{cm}^{2}}{15 \ \text{cm}} = \frac{60 \ \text{cm}^{\cancel{2}}}{15 \ \cancel{\text{cm}}} = 4 \ \text{cm}\)

Die Figur ist also 4 cm groß.

Lösung

  1. Die Figur ist 30 cm von der Linse entfernt.
  2. Die Figur ist 4 cm groß.
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