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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das ohmsche Gesetz in einer Parallelschaltung anwendest

Aufgabe

Die drei Widerstände R1 mit I1= 0,3 A, R2 mit I2 = 0,1 A und R3 mit I3 = 0,2 A sind parallel geschaltet. Der Gesamtwiderstand beträgt Rges = 50 \(\Omega\).

  1. Berechne die Gesamtstromstärke und die Gesamtspannung.
  2. Berechne die Widerstände der einzelnen Teilwiderstände.

Teilaufgabe a

Aufgabe:

Die drei Widerstände \(R_1\) mit \(I_1=0{,}1\,\text A\), \(R_2\) mit \(I_2=0{,}1\,\text A\) und \(R_3\) mit \(I_3=0{,}3\,\text A\) sind parallel geschaltet. Der Gesamtwiderstand beträgt \(R_{ges}=50\,\Omega.\)

  1. Berechne die Gesamtstromstärke und die Gesamtspannung.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Zu Beginn einer neuen Aufgabe ist es immer sinnvoll, sich aufzuschreiben, was gegeben und gesucht ist.

Gegeben ist hier Folgendes:

  • die jeweilige Stromstärke I am Einzelwiderstand \(R\)\(I_1 \, = 0,3 \, \text A \; \text{an}\, R_1\)\(I_2 \,=0,1 \, \text A\; \text{an}\, R_2\) und \(I_3 \,=0,2 \, \text A\; \text{an}\, R_3\)
  • der Gesamtwiderstand: \(R_{ges}=50\,\Omega\)

Gesucht werden:

  • die Gesamtstromstärke Iges
  • die Gesamtspannung Uges

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Beginnen wir mit der Suche nach der richtigen Formel für die Gesamtstromstärke Iges und Gesamtspannung Uges:

Mal überlegen. Wir haben die Schlagwörter Stromstärke, Widerstand und parallel geschaltet gegeben. Dies lässt den Schluss zu, dass wir es mit dem ohmschen Gesetz zu tun haben könnten. Erinnern wir uns an das ohmsche Gesetz: Widerstand ist gleich Spannung geteilt durch Stromstärke.

\(\Huge{\frac{U}{R \cdot I}}\)

Zudem musst du hier die Besonderheiten von parallel geschalteten Widerständen beachten. Solltest du Probleme dabei haben, dann schau dir dazu noch mal ein Video an.

  • Gesamtspannung: \(U_{ges}=U_1=U_2=U_3\)
  • Gesamtstromstärke: \(I_{ges}=I_1+I_2+I_3\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Gefragt wird nach der Gesamtspannung und der Gesamtstromstärke. Die Formel zur Gesamtstromstärke wurde im vorherigen Schritt schon genannt und muss nicht weiter umgeformt werden:

  • Gesamtstromstärke: \(\color{red}{I_{ges}}=I_1+I_2+I_3\)

Anders sieht es jedoch bei der Gesamtspannung Uges aus. Dafür kannst du mithilfe des Formeldreiecks die Formel des ohmschen Widerstandes umstellen.

 Schauen wir uns dazu kurz das Formeldreieck an. In diesem haben wir alle für die Aufgabe benötigten Variablen gegeben. Wenn du nun also die Formel umstellen willst, musst du nur die gesuchte Variable, in diesem Fall das U für die Spannung, abdecken und erhältst das Ergebnis der gesuchten Variable.

\(\Huge{\frac{U}{R \cdot I}}\) \(\Huge \rightarrow\)\(\Huge{\frac{\color{white}U}{R \cdot I}}\)

Als Ergebnis erhalten wir dann: \(\text U = \text R \cdot \text I\).

Wenn du Probleme beim Umgang mit einem Formeldreieck hast, informiere dich doch nochmal, wie man das macht.

Schritt 4: Rechne die gegeben Werte in die richtigen Einheiten um

Bevor es ans Losrechnen geht, schau dir noch die Einheiten in der Formel an. Achte darauf, dass diese zusammenpassen. 

Bei einer ohmschen Gleichung haben wir V, A und \(\Omega\) gegeben.

Beachte, dass \(1\;\Omega \,\text{als}\, \frac{1 \,\text V}{1\,\text A}\)definiert ist. 

Wenn du das im Blick behältst, machen die Einheiten keine Schwierigkeiten und es kann losgehen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun kannst du die Variablen in die Formel aus Schritt drei einsetzen und sie ausrechnen.

\(I_{ges} = I_1 + I_2 + I_3\)

\(I_{ges} = 0{,}3 \text{ A} + 0{,}1 \text{ A} + 0{,}2 \text{ A}\)

\(I_{ges} =0{,}6 \text{ A}\)

Mithilfe der errechneten Gesamtstromstärke Iges kann nun die Gesamtspannung Uges ausgerechnet werden.

Dazu musst du nur noch die Variablen der Gesamtstromstärke und des Gesamtwiderstandes in die umgestellte Formel des ohmschen Gesetzes einsetzen und sie ausrechnen:

\(U_\text {ges} = R_\text {ges} \cdot I_\text {ges}\)

\(U_\text {ges} = 50\, \Omega \cdot 0{,}6 \,\text A= 50\;\frac{\text V}{\text A}\cdot 0{,}6\, \text A\)

\(U_\text {ges} = 30 \,\text V\)

 

Teilaufgabe b

Aufgabe

Die drei Widerstände R1 mit \(I_3=0{,}3\,\text A\), R2 mit \(I_2=0{,}1\,\text A\) und R3 mit \(I_3=0{,}2\,\text A\) sind parallel geschaltet. Der Gesamtwiderstand beträgt \(R_{ges}=50\,\Omega\).

b. Berechne die Widerstände der einzelnen Teilwiderstände.

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Beginne wieder damit, dir aufzuschreiben, was gegeben und gesucht ist.

Gegeben sind:

  • die einzelnen Teilwiderstände
  • die berechnete Gesamtstromstärke Iges und die Gesamtspannung Uges aus dem ersten Aufgabenteil

Gesucht wird:

  • die Größe des Widerstands am jeweiligen Teilwiderstand

Schritt 2 Finde die richtige Formel

In der Aufgabenstellung wird von Widerständen gesprochen, zusammen mit der zuvor berechneten Stromstärke kannst du davon ausgehen, dass du es wieder mit dem ohmschen Gesetz für parallel geschaltete Stromkreise zu tun hast.

Wie noch aus Aufgabenteil a bekannt, lautet das ohmsche Gesetz: \(\text R = \frac {\text U}{\text I}\).

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchtem um

Da in der Aufgabe nach den einzelnen Teilwiderständen (\(\text R_1\) bis \(\text R_3\)) gefragt wird, muss die Formel nicht weiter umgestellt werden.

Schritt 4: Rechne die gegeben Werte in die richtigen Einheiten um

Und auch hier wieder: Schau dir die Einheiten vor dem Losrechnen an. Es ist wieder eine ohmsche Gleichung mit V, A und \(\Omega\) gegeben, sodass du \(1\; \Omega \,\text{als}\, \frac{1 \,\text V}{1\,\text A}\) wieder aus der vorherigen Aufgabe übernehmen kannst.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nun kannst du mit den Werten aus der Teilaufgabe a und den in der Aufgabenstellung gegebenen Teilspannungen die Teilwiderstände ausrechnen.

Dazu musst du nur noch alle Werte in die Formel eintragen. Achte aber darauf, dass für jeden Teilwiderstand eine eigene Rechnung benötigt wird.

\(R_1 = \frac {U_{ges}}{I_1} = \frac {30\, \text V}{0{,}3\, \text A} = 100\, \frac {\text V}{\text A}=100\, \Omega\)

\(R_2 = \frac {U_{ges}}{I_2} = \frac {30\, \text V}{0{,}1\, \text A} = 300\, \frac {\text V}{\text A}=300\, \Omega\)

\(R_3 = \frac {U_{ges}}{I_3} = \frac {30\, \text V}{0{,}2\, \text A} = 150\, \frac {\text V}{\text A}= 150\, \Omega\)

Lösung

  1. Die Gesamtstromstärke beträgt \(\text U_{\text{ges}}=\) \(0,6 \,\text A\) und die Gesamtspannung \(\text U_{\text{ges}}=30\,\text V\).
  2. Die Widerstände an den einzelnen Teilwiderständen betragen \(R_1 = 100\,\Omega\)\(R_2 = 300 \,\Omega\) und \(R_3 = 150 \,\Omega\).
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