• Aufgabe 1

    1 Stunde 24 Punkte

    Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s), weiß (w) oder braun (b).
    Die Übergangsmatrix \(M\) 
    \(\qquad\quad\;\; r\,\quad\ s \qquad w\quad\ b\\M=\begin{pmatrix}1&0,5&0&0\\0&0&0,5&0\\0&0,5&0&0 \\0&0&0,5&1 \end{pmatrix}\begin{array}{c} r\\s\\w\\b\end{array}\)
    beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: \(\vec{h}=\left(\begin{array}{c}r\\s\\w\\b\end{array}\right)\)

    1. Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der 2. Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang.
      Begründen Sie ohne Rechnung, dass es in Phantasia langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird.
    2. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:
      \(\vec{h}_J=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\\0,5\\0\end{array}\right)\).
      Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile für August desselben Jahres.
      Entscheiden Sie, ob mit der Übergangsmatrix \(M\) die Bevölkerungsanteile für den Monat Mai desselben Jahres berechnet werden können.
      Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.
    3. Die Einwohner Phantasias ändern das monatliche Wechselverhalten für ihre Haarfarben entsprechend dem folgenden Übergangsgraphen.

       


      Zeigen Sie, dass die Haarfarbe rot (r) nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln wieder erreicht werden kann.
      Erstellen Sie einen neuen Übergangsgraphen, der das Wechselverhalten der Einwohner im jeweils zweimonatigen Abstand darstellt.

  • Aufgabe 2

    1 Stunde 24 Punkte

    Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße 15 m, 20 m und 6 m.

     

    Am Ort \(L(3 | 2| 5)\) befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

    1. Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt \(P(7| 20| 4)\) auf die rechte Wand auftreffen. Bestimmen Sie den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.
      Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor \(\left(\begin{array}{c}4\\10\\-1\end{array}\right)\) eingestellt, so trifft das Laserlicht im Punkt \(Q\) auf die rechte Wand auf.
      Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(Q\). (Zur Kontrolle: \(Q(10,2| 20| 3,2) \))
      Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(Q\) vom Laser.
      Der Laser wird so eingestellt, dass alle Laserstrahlen in der Ebene \(E\) mit
      \(E:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\0\\-0,5\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}0\\10\\0\end{array}\right)\) verlaufen.
    2. Alle vom Laserstrahl auf der rechten Wand getroffenen Punkte liegen auf einer Geraden. Zeigen Sie, dass diese Gerade durch \(g:\,\vec{x}=\left(\begin{array}{c}10\\20\\3,25\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\0\\1,25\end{array}\right)\) angegeben werden kann.
      Aus Sicherheitsgründen wird gefordert, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von 2 Metern treffen darf.
      Untersuchen Sie, ob diese Forderung eingehalten wird.
    3. Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt \(A(15| 4| 2)\) bis zum Punkt \(B(15|18| 2)\) verläuft.
      Bestimmen Sie für den Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}2k\\10\\-0,5k\end{array}\right)\) des Laserstrahls einen Wert für \(k\) so, dass der Laserstrahl mit der Strecke durch \(A\) und \(B\) einen Winkel von 60° einschließt.