Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Genmais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Genmais in Deutschland weiterhin verboten bleiben?“
Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder.
Aufgabe 2
Dauer:19 Minuten8 Punkte
a)
Eine Person wird zufällig aus den \(1005\) Teilnehmern der Umfrage ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat.
Unter den Befragten der Altersgruppe „14 bis 29“ befanden sich \(57\) Schüler. Von diesen antworteten \(\frac 2 3\) mit „Ja“.
Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben.
Aufgabe 3
Dauer:24 Minuten10 Punkte
b)
Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt.
Aus den Teilnehmern der Umfrage werden \(2\) Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die 1. (Ost bzw. West).
Aufgabe 4
Dauer:41 Minuten17 Punkte
c)
Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden.
Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe „50 bis 59“ befragt.
Begründen Sie, dass die Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“ als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac 1 8 \) beträgt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
unter \(40\) zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59“ ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht.
unter \(50\) zufällig in der Altersgruppe „50 bis 59“ ausgewählten Personen mindestens \(42\)nicht mit „Nein“ antworten.
von \(10\) zufällig ausgewählten Personen alle eine Angabe („Ja“ oder „Nein“) machen, wenn diesmal bei der Umfrage nur Personen im Alter von 14 bis 49 Jahren befragt werden.
Aufgabe 5
Dauer:36 Minuten15 Punkte
d)
Um z. B. den unbekannten Anteil \( p_M\) der Befürworter unter allen Männern zu schätzen, kann man eine Umfrage unter zufällig ausgewählten Männern durchführen, die Anzahl \(X\) der Befürworter in der Umfrage ermitteln und daraus ein \(95\ \%\)-Konfidenzintervall \(K_M\) für \(p_M\) ermitteln.
Erklären Sie die Bedeutung dieses Intervalls im Sachzusammenhang.
In der tatsächlich durchgeführten Umfrage sprachen sich von den \(487\) befragten Männern \(366\) für ein Verbot des Anbaus von Genmais aus, von den befragten \(518\) Frauen sogar \(426\). Für den unbekannten Anteil der Befürworter unter allen Männern wurde als \(95\ \%\)-Konfidenzintervall daraus näherungsweise das Intervall \(K_M=[0{,}7113; 0{,}7878]\) ermittelt.
Bestimmen Sie aufgrund der Umfrage ein \(95\ \%\)-Konfidenzintervall \(K_F\) für den unbekannten Anteil \(p_F\) der Befürworter unter den Frauen. Gehen Sie dabei ohne Beweis davon aus, dass die Zufallsgröße \(Y\): „Anzahl der Frauen, die mit ‚Ja‘ geantwortet haben“ binomialverteilt ist und die Laplace-Bedingung \(\sigma>3 \) erfüllt ist.
