• Aufgabe 1

    5 Minuten 2 Punkte

    Bilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\left(4+\text{e}^{3x}\right)^5\).

  • Aufgabe 2

    5 Minuten 2 Punkte

    Berechnen Sie das Integral \(\begin{align}\int\limits_0^\pi \left\{4x+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right\}\text{d}x \end{align}\).

  • Aufgabe 3

    8 Minuten 3 Punkte

    Lösen Sie die Gleichung \((x^3-3x)\cdot(\text{e}^{2x}-5)=0\).

  • Aufgabe 4

    10 Minuten 4 Punkte

    Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) die Tangente mit der Gleichung \(y = 4x −12\).
    Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von \(f\).

  • Aufgabe 5

    12 Minuten 5 Punkte

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(f\). Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

    1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = -3\) einen Tiefpunkt.
    2. \(f(-2) < f(-1)\)
    3. \(f''(−2) + f'(−2) < 1\)
    4. Der Grad der Funktion \(f\) ist mindestens vier.

     

  • Aufgabe 6

    10 Minuten 4 Punkte

    Gegeben sind die drei Punkte \(A(4/0/4)\), \(B(0/4/4)\) und \(C(6/6/2)\).

    1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
    2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck \(ABC\) zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.

  • Aufgabe 7

    7 Minuten 3 Punkte

    Gegeben ist die Ebene \(E:\;4x_1 + 3x_3 = 12\).

    1. Stellen Sie \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
    2. Bestimmen Sie alle Punkte der \(x_3\)-Achse, die von \(E\) den Abstand 3 haben.

  • Aufgabe 8

    10 Minuten 4 Punkte

    Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:

    Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50%

    Das Glücksrad wird \(n\)-mal gedreht.
    Die Zufallsvariable \(X\) gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.

    1. Begründen Sie, dass \(X\) binomialverteilt ist.
      Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\):
      \(k\) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
      \(P (X=k)\) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05 ...
    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
    3. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von \(n\) der Tabelle zugrunde liegen kann: 
      20, 25 oder 30
      Begründen Sie Ihre Entscheidung.

  • Aufgabe 9

    8 Minuten 3 Punkte

    Mit \(V=\pi\cdot\int\limits_0^4\left(4-\frac{1}{2}x\right)^2\text{d}x\) wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. 
    Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper.