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Aufgabe 1
Dauer: 1 Minute 5 PunkteAnalysis, Teil 1
Aufgabe 1Gegeben ist die Funktion \(f:x \longrightarrow \frac {x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}^{+}\diagdown\left\{1\right\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).
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Aufgabe 2
Dauer: 1 Minute 5 PunkteGegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\cdot (2x+x^{2})\).
- Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
- Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^{2}\cdot e^{x} \) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1)=2e\) gilt.
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Aufgabe 3
Dauer: 1 Minute 5 PunkteGegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g_{a,c}:x \longrightarrow \sin(ax)+c\) mit \(a,c \in \mathbb{R}_0^+\).
- Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaften besitzt.
α) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).
β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau 3 Nullstellen. - Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann.
- Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaften besitzt.
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Aufgabe 4
Dauer: 1 Minute 5 PunkteDie Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
- Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
- Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
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Aufgabe 5
Dauer: 1 Minute 3 PunkteAnalysis, Teil 2
Aufgabe 1Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb{R}\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.
- Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(x\longmapsto\sin x\) durch Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor.
- Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).
- Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(π\).
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Aufgabe 6
Dauer: 1 Minute 5 PunkteGegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^x⋅(2x+x^2)\).
- Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
- Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^2⋅e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.
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Aufgabe 7
Dauer: 1 Minute 2 PunkteDer Graph einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g: x⟼g(x)\) besitzt für \(-5≤x≤5 \) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion \(g^"\) von \(g\) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
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Aufgabe 8
Dauer: 1 Minute 2 PunkteIn einem Koordinatensystem werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
- Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
- Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f: x\longmapsto-\ln x\) mit \(0 < x < 1\) .
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
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Aufgabe 9
Dauer: 1 Minute 5 PunkteAbbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
- Beschreiben Sie für \(a≤x≤b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
- Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
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Aufgabe 10
Dauer: 1 Minute 5 PunkteAnalytische Geometrie, Teil 1
Aufgabe 1Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma \(ABCDEF\) mit \(A(0|0|0)\), \(B(8|0|0)\), \(C(0|8|0)\) und \(D(0|0|4)\).
- Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte \(B\) und \(F\).
- Die Punkte \(M\) und \(P\) sind die Mittelpunkte der Kanten \([AD]\) bzw. \([BC]\). Der Punkt \(K(0|y_K|4)\) liegt auf der Kante \([DF]\). Bestimmen Sie \(y_K\) so, dass das Dreieck \(KMP\) in \(M\) rechtwinklig ist.
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Aufgabe 11
Dauer: 1 Minute 5 PunkteAnalytische Geometrie, Teil 2
Aufgabe 1Die Vektoren \(\overrightarrow{a} =\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b} =\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\0\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c} =\left(\begin{array}{c}4t\\ 2t\\-5t\end{array}\right)\) spannen für jeden Wert von \(t\) mit \(t \in \mathbb{R} \backslash \left\{0 \right\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).
- Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
- Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
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Aufgabe 12
Dauer: 1 Minute 5 PunkteEine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M(-3|2|7)\). Der Punkt \(P(3|4|4)\) liegt auf der Kugel.
- Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\).
- Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1 x_2\)-Ebene berührt.
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Aufgabe 13
Dauer: 1 Minute 3 PunkteStochastik, Teil 1
Aufgabe 1In Urne \(A\) befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Urne \(B\) enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne \(A\) wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt; danach wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(A\) gelegt.- Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne \(A\) nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
- Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder 3 weiße Kugeln in Urne \(A\).“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
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Aufgabe 14
Dauer: 1 Minute 2 PunkteBetrachtet wird eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoulli-Kette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\) angegeben wird.
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Aufgabe 15
Dauer: 1 Minute 3 PunkteDie Zufallsgröße \(X\) kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) mit \(p_1,p_2\in[0;1].\)
k
0
1
2
3
\(P(X=k)\)
\(p_1\)
\(\frac{3}{10}\)
\(\frac{1}{5}\)
\(p_2\)
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von \(X\) nicht größer als 2,2 sein kann.
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Aufgabe 16
Dauer: 1 Minute 5 PunkteStochastik, Teil 2
Aufgabe 1In Urne \(A\) befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Urne \(B\) enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne \(A\) wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt; danach wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(A\) gelegt.- Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne \(A\) nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
- Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder 3 weiße Kugeln in Urne \(A\).“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
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Aufgabe 17
Dauer: 1 Minute 5 PunkteDas Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(C\) und \(D\).
- Berechnen Sie \(P(\overline{D}).\)
- Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) abhängig sind.
- Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{1}{10}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.
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Aufgabe 1
Analysis, Teil 1
Aufgabe 1Gegeben ist die Funktion \(f:x \longrightarrow \frac {x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}^{+}\diagdown\left\{1\right\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).