-
Aufgabe 1
Eine Fabrikhalle soll in einen gleichmäßig ansteigenden Hang hinein gebaut werden. Dazu wird aus dem Hang Erde abgetragen. Der entstehende Einschnitt in den Hang wird im Folgenden als Baugrube bezeichnet. Das Gelände vor der Baugrube ist eben und liegt in der x-y-Ebene. Der Übergang von der x-y-Ebene in den Hang wird von der Geraden \(g\) beschrieben, die durch die Punkte \(A(–10|30|0)\) und \(B(–30|90|0)\) verläuft (Material). Diese Punkte sind gleichzeitig die beiden vorderen Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche der Baugrube. Der Punkt \(D(–40|20|0)\) ist ein weiterer Eckpunkt dieser Grundfläche.
Modellhaft kann angenommen werden, dass der Hang in einer Ebene \(H\) liegt. In dieser Ebene liegen auch die beiden oberen Eckpunkte \(E\) und \(F(–45|5|15)\) der Baugrube. Alle Angaben erfolgen in Metern.1.1
Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt \(C\) der Grundfläche \(ABCD\) der Baugrube. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass diese Grundfläche bei \(A\) einen rechten Winkel besitzt.
(4 BE)
1.2
Geben Sie eine Gleichung der Hangebene \(H\) in Parameterform an und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
[zur Kontrolle: \(H: 9x + 3y + 26z = 0\)](6 BE)
1.3
Von einem festen Messpunkt \(P(30|20|5)\) außerhalb der Baustelle wird der obere Eckpunkt \(E\) der Baugrube über den Vektor \(\vec v=\begin{pmatrix}-21\\15\\2\end{pmatrix}\) anvisiert. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(E\).
(4 BE)
1.4
Die Punkte \(D,\ C,\ E\) und \(F\) sind die Eckpunkte der „hinteren Wand“ der Baugrube. Sie liegen in der steil abfallenden Ebene \(J\). Eine Koordinatengleichung dieser Ebene lautet \(J: 3x + y + 2z = -100\). Nach Bauvorschrift darf eine solche Ebene gegenüber der Grundfläche höchstens einen Steigungswinkel von \(60^°\) besitzen.
Untersuchen Sie, ob die Ebene \(J\) die Vorgabe der Bauvorschrift erfüllt.
(3 BE)
Abiturprüfung
Mathematik
Abitur