Abiturprüfung Analytische Geometrie 2.2 2015 BB GK

Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, die durch die Punkte \(A(4|2|2,3)\) und \(B(15|8|2,5)\) verläuft. Um \(\text{12:13 Uhr}\) durchfliegt das Flugzeug \(A\) und eine Minute später \(B\). Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Einheit für die Zeit \(t\) ist \(1\ \text {min}\), \(1\ \text{LE} = 1\ \text{km}\).

a) 

Geben Sie eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an. Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze \(T(59|32|3)\). Weisen Sie nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs, geben Sie das Ergebnis in \(\frac{\text{km}}{\text h}\) an.

(12 BE)

b) 

Bestimmen Sie den Punkt \(P\), in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von \(3,5\text{ km}\) erreicht, und ermitteln Sie die Flugzeit bis zum Erreichen von \(P\). Im Punkt \(P\) ändert der Flugkapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung \(Q(81|44|3,5)\) weiter. Das Flugzeug erreicht \(Q\) nach einer Minute. Bestimmen Sie eine Geradengleichung für den neuen Kurs.

(8 BE)

c)

Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punkt \(R(139|89|2,1)\) und fliegt entlang der Geraden:

\(h:\vec x=\begin{pmatrix}139\\89\\2,1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\0,2\end{pmatrix}\)

Der Berghang liegt in einer Ebene \(E\) mit der Gleichung \(15x-18y+50z=588\). Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt.

(6 BE)

d) 

Die Gerade \(h\) schneidet die Gerade durch \(P\) und \(Q\) im Punkt \(S(125|68|3,5)\). Der Hubschrauber startet um \(\text{12:17 Uhr}\). Er legt in einer Minute genau die Strecke zurück, die dem Betrag des Richtungsvektors von \(h\) entspricht. Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um \(\text{12:19 Uhr}\) (vergleiche Teil b) auf konstanter Reiseflughöhe. Entscheiden Sie begründet, ob eine Kurskorrektur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision kommt.

(4 BE)