• Aufgabe 1

    33 Minuten 14 Punkte

    Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung:
    \(f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400,\ t\in \mathbb R\)
    und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion \(g\) mit der Gleichung:
    \(g(t)=-t^4+26t^3-167,5t^2-12,5t+2053,\ t\in\mathbb R\)
    modelliert, und zwar für das Zeitintervall \([0;12]\), das dem Kalenderjahr entspricht. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und \(f(t)\) sowie \(g(t)\) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt \(t=0\) entspricht dem Beginn des Kalenderjahres. Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

     


    (1) 

    Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang.

    (2) 

    Berechnen Sie \(\frac {f(0)}{g(0)}\) und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

    (3) 

    Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten \(t_1=3 \) und
    \(t_2=9,5\) dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

    (5 + 5 + 4 Punkte)

  • Aufgabe 2

    43 Minuten 18 Punkte
    (1) 

    Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert.

    (2) 

    Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall \([0;12]\), zu dem der durch \(g\) beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

    (8 + 10 Punkte)

  • Aufgabe 3

    44 Minuten 18 Punkte
    (1)

    Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion \(G\) von \(g\) an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.

    (2) 

    Im Intervall \([3; 9,5]\) wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall \([3; 9,5]\) zur Verfügung steht.

    (3) 

    Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang.

    \(\frac{\int_0^{12}f(t)\mathrm d t\ -\ \int_3^{9,5}\left(f(t)\ -\ g(t)\right)\mathrm d t}{\int_0^{12}g(t)\mathrm d t}\approx0,575\)

    (6 + 6 + 6 Punkte)