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Abiturprüfung

Abiturprüfung Analysis A3 2014 NRW LK

Abitur 120 Minuten

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=8x \cdot e^{-0,25x^2}\)\(x \in \mathbb R\). Der Graph der Funktion \(f\) wird in der Abbildung dargestellt. 

 

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    41 Minuten 17 Punkte

    a)

    1. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) symmetrisch zum Ursprung ist.
    2. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(f'\). Untersuchen Sie, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion \(f\) vorliegt.
      [Zur Kontrolle: \(f'(x)= (8-4x^2) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
    3. Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) genau 3 verschiedene Wendestellen besitzt. 
      [Zur Kontrolle: \(f''(x)= x \cdot (2x^2 - 12 ) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
  • Aufgabe 2

    22 Minuten 9 Punkte

    b)

    Gegeben ist die Ursprungsgerade  mit der Gleichung , , wobei  eine positive reelle Zahl ist. 

    1. Beweisen Sie: Genau für  schneidet die Gerade  den Graphen der Funktion  im I. Quadranten im Ursprung  und in einem davon verschiedenen Punkt . 
    2. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes . 
      [Zur Kontrolle:  besitzt die -Koordinate .]
  • Aufgabe 3

    29 Minuten 12 Punkte

    c)

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion  mit der Gleichung

      eine Stammfunktion der Funktion  ist.

    2. Es sei  die Ursprungsgerade mit der Gleichung , . Erklären Sie, dass die Gerade  und der Graph der Funktion  im I. Quadranten eine Fläche einschließen. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
  • Aufgabe 4

    28 Minuten 12 Punkte

    d)

    Man betrachtet den Graphen der Funktion . Die Punkte  und  seien wie in b) (1) definiert. Zusätzlich sei der Punkt  die senkrechte Projektion des Punktes  auf die -Achse. 

    1. Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
    2. Untersuchen Sie, für welche  der Flächeninhalt des Dreiecks  maximal wird.