Betragsfunktion – Lernwege
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Was ist der Betrag einer Zahl?
Betragsfunktion – Lexikoneinträge
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Der Betrag (oder Absolutbetrag ) einer ganzen, rationalen oder reellen Zahl ist der positive „Wert“ dieser Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen . Formaler kann man sagen: Der Betrag | a | einer Zahl a (sprich: „Betrag von a") ist die Zahl selbst, falls sie positiv oder null ist, und ihre Gegenzahl (das Negative dieser Zahl), falls sie negativ ist. Beachte, dass das Negative von etwas Negativen in der Mathematik immer etwas Positives ist! Man schreibt kurz: \(|a| = \begin{cases} \ \ \ a, \text{ wenn } a \ge 0 \\ -a, \text{ wenn } a < 0 \end{cases}\) Beispiele: |6| = 6 |–3,5| = –(–3,5) = 3,5 |0...
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Die Dreiecksungleichung macht zunächst einmal nur die wenig spektakuläre Aussage, dass bei einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen immer mindestens so groß ist wie die dritte Seitenlänge: \(a \le b+c\) ; \(b \le a+c\) ; \(c \le a+b\) Dies gilt auch für allgemeinere Abstände von geometrischen Objekten wie Vektoren und Beträge von Zahlen, tatsächlich spielt die Dreiecksungleichung in der höheren Mathematik eine bedeutende Rolle. Für die Summe zweier reellen Zahlen lautet die Dreiecksungleichung \(|a + b| \le |a|+|b|\) und für Vektoren \(|\vec a + \vec b| \le |\vec a|+|\vec b|\)