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Abiturprüfung

Originalprüfung 2012 Analysis Aufgabe 3, LK

Abitur 5 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Gegeben ist eine Schar von Funktionen \(f_a\) durch \(f_a(x) = \frac{x}{a} \cdot e^{ax},\, x \in \mathbb{R}\), mit einer positiven reellen Zahl \(a\). Der Graph der Funktion \(f_{0{,}5}\) ist hier dargestellt.

  • Aufgabe 2

    1 Minute 17 Punkte

    a)

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \(f_a\) in Abhängigkeit von \(a\).
    2. Begründen Sie, dass \(T_a \left(-\frac{1}{a}\left.\right \vert –a^{-2}e^{-1}\right)\) ein globaler Tiefpunkt der Funktion \(f_a\) ist.                                        
  • Aufgabe 3

    1 Minute 9 Punkte

    b)

    In a) 1. ergibt sich der Wendepunkt \(W_a\left(-\frac{2}{a}\left.\right \vert –2a^{-2}e^{-2}\right)\).

    1. Zeigen Sie: Für die Länge \(l(a)\) der Strecke \( \overline{T_aW_a}\) gilt \((l(a))^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{k}{a^2}\) mit \(k = (e-2)^2e^{-4}\).
    2. Untersuchen Sie, ob die Länge \(l(a)\) der Strecke \(\overline{T_aW_a}\) extremal werden kann.
  • Aufgabe 4

    1 Minute 14 Punkte

    c)

    1. Begründen Sie mithilfe von Integrationsverfahren, dass die Funktion \(F_a\) mit der Gleichung \(F_a(x) = \frac{1}{a^2}e^{ax}\cdot\left(x-\frac{1}{a}\right),\, x \in \mathbb{R}\), eine Stammfunktion der Funktion \(f_a\) ist.
    2. Der Graph der Funktion \(f_a\) schließt mit der \(x\)-Achse im III. Quadranten eine unbegrenzte Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt \(I_a = \frac{1}{a^3}\) besitzt.
  • Aufgabe 5

    1 Minute 10 Punkte

    d)

    1. Es sei \(h\) die Funktion mit der Gleichung \(h(x) = e^x-x,\, x \in \mathbb{R}\). Beweisen Sie: Im Intervall \(]0;\infty[\) ist die Funktion \(h\) streng monoton steigend und es gilt \(h(x) \geq 1\) für alle \(x \geq 0\).
    2. Begründen Sie mithilfe von \(d) (1)\): Die Normalparabel \(p\) mit der Gleichung \(p(x) = x^2;\, x \in \mathbb{R}\) schneidet den Graphen der Funktion \(f_a\) nur im Ursprung.