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Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, LK


Aufgabe

Bei der Kunstausstellung „Licht und Schatten“ ist in der Mitte der Ausstellungshalle eine gerade, 1 m hohe Pyramide mit quadratischer Grundfläche von 1 m Seitenlänge ausgestellt.

Die Grundfläche der Pyramide befindet sich (gehalten von vier Stützen) einen Meter über dem Boden der Halle. Die quaderförmige Halle selbst ist 5 m hoch und hat eine quadratische Grundfläche von 9 m Seitenlänge.

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung in einer Hallenecke und entlang der Hallenkanten verlaufenden Koordinatenachsen hat die Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte \(A\,(5|4|1)\), \(B\,(5|5|1)\), \(C\,(4|5|1)\) und \(D\,(4|4|1)\).

Die Gegebenheiten sind in der Abbildung 1 dargestellt.

Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 4, LK - Abbildung 1

a)

  1. Zeigen Sie, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten \(S\,(4{,}5|4{,}5|2)\) hat.
  2. Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks \(ABS\).
  3. Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide.
  • Punkte:  11

b)

Ermitteln Sie, unter welchem Winkel die Seitenfläche \(ABS\) der Pyramide gegen ihre Grundfläche \(ABCD\) geneigt ist.

[Zur Kontrolle: \(E_{ABS}:2x+z=11\)]

  • Punkte:  7

c)

Die Pyramide wird von einer an der rechten Hallenwand \((y = 9)\) befestigten punktförmigen Lichtquelle angestrahlt (siehe Abbildung).

  1. Die Lichtquelle befindet sich zuerst in der Position \(\text{L}_1\, (4{,}5|9|1)\). Der Pyramidenschatten auf der gegenüberliegenden Hallenwand \((y = 0)\) hat die Form eines Dreiecks. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Schattendreiecks. Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
  2. Die Lichtquelle wird nun in die Position \(\text{L}_2 \,(5|9|1)\) gebracht. Beschreiben Sie ohne weitere Rechnung die Form des neuen Pyramidenschattens im Vergleich zum Schatten aus b) 1.
  • Punkte:  12

d)

Nachts werden die Kunstwerke in der Halle durch Laser-Lichtschranken gesichert.
Einer der Laserstrahlen ist auf den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten des Dreiecks \(ABS\) gerichtet.

  1. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von \(M\). [Zur Kontrolle: \(M\,(4{,}8|4{,}5|1{,}4)\)]
  2. Der Laserstrahl trifft im Punkt \(M\) orthogonal auf die Seitenfläche \(ABS\) der Pyramide. Ermitteln Sie die Koordinaten der Position \(P\) der zugehörigen Laser-Lichtquelle an einer der Hallenwände.
  • Punkte:  13

e)

Eine zweite Laser-Lichtquelle befindet sich in der Position \(Q(9|7|3)\). Ihr Laserstrahl ist auf den Punkt \(R(1|3|0)\) gerichtet.

Zeigen Sie, dass dieser Laserstrahl die Seitenfläche \(BCS\) der Pyramide trifft.
  • Punkte:  7
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