Kugel

Die Kugel ist der symmetrischste geometrische Körper, den es gibt. Sie ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunkts M, drehsymmetrisch um jede Gerade durch M (und zwar um jeden beliebigen Winkel) und spiegelsymmetrisch bezüglich jeder Ebene durch M. Ihre Oberfläche ist eine gekrümmte Fläche und ein gutes Modell für die Erdoberfläche, auf der wir leben (allerdings ist die Erde nur angenähert eine Kugel).

Als Punktmenge definiert man die Kugel als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Mittelpunkt M (höchstens) den räumlichen Abstand r haben.

Jede Schnittfläche einer Kugel ist ein Kreis. Wenn der Schnitt durch den Mittelpunkt geht, nennt man den Kreis einen Großkreis, sonst einen Kleinkreis.

Die Oberfläche einer Kugel beträgt \(O = 4\pi r^2\), ihr Volumen ist \(\displaystyle V = \frac 4 3 \pi r^3\). Die Oberfläche ist also die Ableitung des Volumens nach dem Radius, \(\displaystyle O = \frac{\text d V}{\text d r}\).
Annmerkung: Man kann das Kugelvolumen als ein Integral berechnen (Volumenberechnung bei Rotationskörpern).

In der Analytischen Geometrie wird eine Kugel durch eine Vektorgleichung eindeutig festgelegt:

• Vektorform: \((\vec x - \vec m)^2 = r^2\)
• Koordinatenform: (x₁ – m₁)² + (x₂ – m₂)² + (x₃ – m₃)² = r²
• Parameterform: \(\displaystyle \vec x = \vec m + r \begin{pmatrix} \cos u \cos v \\ \cos u \sin v \\ \sin u \end{pmatrix} \ \ \left( -\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}; \ 0 \le v < 2\pi \right)\)

Beispiel:

Eine Kugel um den Mittelpunkt M(2|–1|3) mit dem Radius 4 hat die Gleichungen:

• Vektorform: \(\left(\overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2 = 4^2\) .
• Koordinatenform: \(( x_1 - 2)^2 + ( x_2 + 1)^2 + ( x_3 - 3)^2 = 4^2\) .
• Parameterform:\(\begin{cases} x_1 = 2 + 4 \cdot \cos u \cdot \cos v \\ x_2 = -1 + 4 \cdot \cos u \cdot \sin v \\ x_3 = 3 + 4 \cdot \sin u. \end{cases}\) \(\begin{pmatrix}- \frac{\pi }{2} \leq u \leq \frac{\pi }{2} \\ 0 \leq v < 2\pi \end{pmatrix}.\)

Manche Rechnungen an der Kugel vereinfachen sich, wenn sich nicht in kartesischen, sondern in Kugelkoordinaten durchführt.