Mathematik Schülerlexikon

Die nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannte Sarrus-Regel bzw. Regel von Sarrus ist eine Merkhilfe zur Berechnung der Determinante einer Matrix .

Ein Funktionsgraph hat einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt , wenn er an einer Stelle gleichzeitig einen Wendepunkt und eine waagerechte Tangente besitzt. Dies bedeutet für die notwendige Bedingung , dass dort sowohl die erste als auch die zweite Ableitung der Funktion verschwinden (null sind). Gerne wird als hinreichende Bedingung gefordert, dass die dritte Ableitung nicht null sein darf. Sicherer ist aber die hinreichende Bedingung , dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung kurz vor und kurz nach dem möglichen Sattelpunkt verändert. Ein typisches Beispiel sind Potenzfunktionen mit...

Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik, wenn nicht aller Naturwissenschaften. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenuse nquadrats ist : a 2 + b 2 = c 2 Man fasst den Satz zusammen mit Kathetensatz , Höhensatz und verallgemeinertem Pythagoras-Satz auch zur sog. Satzgruppe des Pythagoras zusammen. Es gibt unzählige Beweise für diesen Satz, eine Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man...

Der Satz des Thales besagt in seiner Kurzform „Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter". Etwas ausführlich ist jedes Dreieck , bei dem zwei Ecken den Durchmesser eines Kreises begrenzen und dessen dritte Ecke ebenfalls auf der Kreislinie liegt, rechtwinklig . Oder: Jeder Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel diese Kreislinie auf zwei gegenüberliegenden Punkten schnieden, ist rechtwinklig. Umgekehrt kann man auch sagen, dass der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks in der Mitte der Hypotenuse liegt. Außer über den Satz vom Umkreismittelpunkt...

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist: 5 · 293.257 · \(\pi\) · 0,22 · 0 · (–111) = 0 Dies gilt auch, wenn die Faktoren Terme sind und Variablen enthalten. Dies kann man sich zunutze machen, wenn man wissen will, ob eine Funktion (mindestens) eine Nullstelle hat: Wenn man die Funktion faktorisieren also als Produkt schreiben kann, genügt es einen Faktor zu finden, der null wird. Beispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4 + 3x^2 –0,5x = 0\) hat eine Nullstelle bei x = 0, denn \(x^4 + 3x^2 –0,5x = 0 \ \ \Leftrightarrow...

Mit dem nach dem englischen Mathematiker und Pfarrer Thomas Bayes (ca. 1702–1761) benannten Satz von Bayes (Bayes’sche Satz) kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten ineinander umrechnen. Genauer gesagt beschreibt der Satz den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, wenn ein Ereignis B sicher geschieht, also P ( A | B ) bzw. „ P von A unter der Bedingung B “, und der Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn A sicher geschieht, also P ( B | A ) bzw. „ P von B unter der Bedingung A “: \(P(A|B) = \displaystyle \frac{P (B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\) Die Formel kann...

Der Satz bzw. die Regel von Moivre-Laplace ist ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes für binomialverteilte Zufallsvariablen , demzufolge man die Binomialverteilung bei „langen“ Bernoulli-Ketten durch die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung annähern kann. Genauer gesagt gilt \(\displaystyle B_{n; \ p} (k) \approx \frac 1 \sigma \cdot \phi \left( \frac{k-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2}\) mit dem Erwartungswert \(\mu = n\cdot p\) und der Varianz \(\sigma^2 = n\cdot p \cdot (1-p) = npq\) ...

Der Satz von Vieta (nach Franciscus Vieta bzw. François Viète ) beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung in Normalform und ihren Nullstellen . Wenn x 1 und x 2 die Lösungen der Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) sind, dann ist \((\text I) \quad x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) und es gilt \((\text {II}) \quad x_1 + x_2 = -p \ \land \ x_1 \cdot x_2 = q\) Anmerkung: Beweisen kann man dies durch Ausmultiplizieren der rechten Seite von (I) und anschließenden Koeffizientenvergleich. Es gibt auch eine Version des Vieta-Satzes für kubische Gleichungen...

Zur Satzgruppe des Pythagoras zählen neben dem berühmten Satz des Pythagoras , \(a^2+b^2=c^2\) , die folgenden Sätze: Kathetensatz (Kathetenquadrate udn Rechtecke über den Hypotenusenabschnitten) Höhensatz (Höhenquadrat und Rechteck der Hypotenusenabschnitte) Verallgemeinerter Satz des Pythagoras (ähnliche Figuren statt Quadrate)

Das Säulendiagramm ( Streifendiagramm ) ist eine grafische Darstellung der Ergebnisse von statistischen Erhebungen, durch die die Ergebnisse schneller erfasst werden können und auch einprägsamer werden. Ein Säulendiagramm eignet sich gut, um die absoluten Häufigkeiten verschiedener Ausprägungen eines Merkmals darzustellen. Die y -Achse eines Säulendiagramms stellt dabei die Anzahl dar. In der Waagerechten werden dann für die unterschiedlichen Merkmalsausprägungen jeweils eigene „Säulen“ nebeneinander angeordnet. Dadurch kann man gut die verschiedenen Merkmalsausprägungen miteinander...

Der Schattenpunkt ist die Projektion eines Punkts P im Raum auf eine Fläche wie die horizontale Ebene (den „Fußboden“) oder eine (Haus-)Wand. Wenn die Lichtquelle das Sonnenlicht ist, kann man von parallel einfallendem Licht ausgehen, also einer Parallelprojektion in Richtung des Vektors \(\vec v\) . Der Schattenpunkt ist dann der Schnittpunkt der Geraden durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor \(\vec v\) und der angegebenen Fläche. Bei einer punktförmigen Lichtquelle L wird die Projektionsrichtung durch den Differenzvektor von P und L angegeben. Beispiel: Die Abbildung zeigt die...

Das Schätzen von Größen ist eine Hilfe, wenn man schnell überprüfen will, ob das Ergebnis einer Messung plausibel ist, oder wenn keine Zeit für eine echte Messung ist. Dabei kann man z. B. ausnutzen, dass ein Daumen ungefähr 1 cm breit ist und ein (großer) Schritt etwa 1 m weit reicht. Weiterhin wiegen 1 Liter Wasser, Milch oder Saft (und von vielen anderen Getränken) ziemlich genau 1 kg und der Ruhepuls von Kindern und Jugendlichen hat eine Frequenz von etwa 1,5 Hertz, d. h., dein Herz schlägt ungefähr dreimal in zwei Sekunden. Das Schätzen von Größen hat damit eine ähnliche Funktion wie die...

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung hat den Vorteil, dass man aus ihr den Scheitelpunkt oder schlicht Scheitel S ( s | t ) des parabelförmigen Funktionsgraphen direkt ablesen kann: \(y= a (x - s )^2 + t \ \ (s,t \in \mathbb R)\) Für s = t = 0 geht dies in die Gleichung der Normalparabel y = x 2 über, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt (wie es dann ja auch sein sollte). Man erkennt an der Scheitelpunktform auch, dass die allgemeine Parabel eine Normalparabel ist, die entlang der x -Achse um die Strecke s und entlang der y -Achse um die Strecke t verschoben ist ( Form- und...

Schneiden sich zwei Geraden in der Ebene, lassen sich vier Winkelfelder unterscheiden. Die gegenüberliegenden Winkel heißen Scheitelwinkel und sind gleich groß, d. h. es gilt: \(\mathbf{\alpha=\gamma}\) \(\mathbf{\beta=\delta}\) Die nebeneinanderliegenden Winkel heißen Nebenwinkel und haben immer eine Summe von \(180° \) : \(\alpha+\beta=180°\) \(\gamma+\delta=180°\) Nimmt man beide Sätze zusammen, folgen außerdem: \(\alpha+\delta=180°\) \(\gamma+\beta=180°\) Die folgende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang noch einmal.

Zwei Ebenen E 1 und E 2 , die nicht parallel (und nicht identisch!) sind, schneiden sich in einer Geraden , der Schnittgeraden . Diese bestimmt man, indem man die Gleichungen der beiden Ebenen gleichsetzt und das sich ergebende Gleichungssystem löst. In Parameterform sieht das folgendermaßen aus (natürlich kann man auch andere Darstellungsformen der Ebenengleichung wählen oder aber eine andere Darstellungsform in die Parameterform umwandeln ): \(\vec a_1 +\lambda_1\vec u_1 + \mu_1\vec v_1 = \vec a_2 +\lambda_2\vec u_2 + \mu_2\vec v_2\) Da das System insgesamt vier freie Parameter hat ( \(...

Bei zwei Mengen A und B die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind: \(A \cap B = \{x|\ x\in A \land x\in B\}\) Es ist immer \(A \cap B = B \cap A\) . Ein andere Name für die Schnittmenge ist Durchschnitt .

Unter dem Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen \(G_{f_1}\) und \(G_{f_2}\) an einer Stelle x 0 versteht man den nichtstumpfen Winkel \(\varphi\) , unter dem sich die Tangenten an die beiden Graphen in diesem Punkt schneiden. Für diesen Winkel gilt \(\displaystyle \tan \varphi = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{f_1'(x_0) - f_2'(x_0)}{1 + f_1'(x_0) \cdot f_2'(x_0)} \right|\) Im Spezialfall, dass die Graphen senkrecht aufeinander stehen, so gilt: \(f_1 ' ( x_0 ) \cdot f_2 ' ( x_0 ) = m_1 \cdot m_2 = - 1\) . Beispiel: Die Graphen der Funktionen \(f_1\!: x...

Der Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen zwei Ebenen E 1 und E 2 ist der (nicht stumpfe) Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\) . mit den Ebenen \(E_1 : \overrightarrow{n_1} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_1} ) = 0\) und \(E_2 : \overrightarrow{n_2} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_2} ) = 0\) , mit den Aufpunkten (Stützvektoren) \(\vec a_1\) und \(\vec a_2\) . Beispiel: \(E_1 : 2 x_1 - 6 x_2 + 3 x_3 + 4 = 0\) und \(E_2 : 1,5 x_1 - x_2 + 3 x_3 - 1 = 0\) \(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}...

Unter dem Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen einer Geraden g und einer Ebene E versteht man den nicht stumpfen Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene der senkrechten Projektion g E des Richtungsvektors \(\vec u\) der Geraden auf die Ebene. Dies ist also nicht der Winkel \(\psi\) zwischen \(\vec n\) und \(\vec u\) , sondern es gilt \(\varphi = 90^\circ - \psi\) (siehe Abbildung). Dabei sind \(g : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} (\lambda \in \mathbb{R})\) und \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a}...

Unter dem Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen zwei verschiedenen Geraden g und h versteht man den nicht stumpfen Winkel an der Geradenkreuzung . Dabei bezeichnet „ \(\circ\) “ das Skalarprodukt zwischen den beiden Richtungsvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) . Beispiel: \(\displaystyle g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \lambda \in \mathbb R\) \(\displaystyle h: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot...

Ein Schrägbild ist eine zweidimensionale Darstellung oder Projektion von dreidimensionalen Objekten ( Körpern ), bei der zwei Achsen ( x , z ) in der „Papierpebene“ aufeinander senkrecht stehen. Die dritte Achse ( y ) wird dagegen um einen gewissen Verzerrungswinkel \(\alpha\) gedreht, sodass sie scheinbar „nach hinten“ zeigt. Längen auf dieser Achse werden um einen Verkürzungsfaktor k verkleinert dargestellt. In der Regel wählt man \(\mathbf{\alpha = 45^\circ}\) und k = 0,5 , was man auch die „ Kavaliersprojektion “ oder -perspektive nennt (allerdings wird der Begriff nicht immer in dieser...

Sollten einmal weder ein Taschenrechner, noch ein Smartphone, Schreibtischcomputer oder Kopfrechengenie vefügbar sein, kann man die Grundrechenarten auch „auf Papier“, also schriftlich ausführen. Dabei wird immer stellengerecht gerechnet, d. h. alle Dezimalkommas müssen untereinander stehen. Fehlende Dezimalstellen am Ende können zur besseren Übersicht durch Nullen aufgefüllt werden. Addition Es wird von rechts nach links und von oben nach unten gerechnet, also erst „7 + 0 = 7“, dann „6 + 3 = 9“ usw. Achtung: Bei der „Einerstelle“ rechnet man „4 + 8 = 12 “, das Ergebnis ist also größer als 9...

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden . Wenn die Ortsvektoren der Ecken A , B und C die Vektoren \(\vec a\) , \(\vec b\) und \(\vec c\) sind, ist der Ortsvektor des Schwerpunkts \(\displaystyle \vec s = \frac 1 3 (\vec a +\vec b+\vec c)\) . Die Bezeichnung „Schwerpunkt“ kann man auch physikalisch wörtlich nehmen: Wenn man ein dreieckiges Holzbrett (ganz vorsichtig!) auf dem Schwerpunkt balanciert, bleibt es im Gleichgewicht. Und wenn man ein Dreieck an der Spitze drehbar aufhängt, folgt die Verlängerung des Fadens der jeweiligen Seitenhalbierenden...

Ein Sechseck oder Hexagon ist ein Polygon ( Vieleck ) mit sechs Ecken und sechs Seiten. Die Winkelsumme (Summe der sechs Innenwinkel) beträgt \(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon + \eta = 720^\circ\) . Von besonderer Bedeutung ist das regelmäßige Sechseck , bei dem alle Seiten gleich lang sind und die und Innenwinkel alle 720° : 6 = 120° betragen. Es lässt sich in sechs kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegen. Demzufolge hat das regelmäßige Sechseck den Flächeninhalt \(A = \displaystyle 6 \cdot \frac{\sqrt 3} 4 \cdot a^2 = \frac{3\sqrt 3} 2 \cdot a^2\) .

Eine Sehne ist eine Strecke , die zwei Punkte auf der Begrenzungslinie eines Kreises , also der Kreislinie, verbindet. Alternativ kann man auch sagen, dass eine Sehne der Abschnitt einer die Kreislinie zweimal schneidenden Geraden , d. h. einer Sekante ist, der innerhalb des Kreises liegt. Wenn \(\overline{AB}\) eine Sehne des Kreises mit dem Mittelpunkt M ist, dann heißt \(\measuredangle\) \(AMB\) Mittelpunktswinkel .

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck , um das man einen Umkreis zeichnen kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich die vier Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden, der dann automatisch der Umkreismittelpunkt ist. Der Name „Sehnenviereck“ kommt daher, dass alle vier Seiten Sehne n des Umkreises sind. Bei einem Sehnenviereck ergänzen sich einander gegenüber liegende Winkel zu 180°: \(\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ\) Zu den Sehnenvierecken zählen das gleichschenklige Trapez , das Rechteck und das Quadrat , es gibt aber auch Sehnenvierecke, die keinerlei Symmetrien aufweisen.

Eine Seitenfläche ist ein abgegrenter Teil der Oberfläche eines geometrischen Körpers . Bei einem Polyeder , etwa einem Würfel , sind alle Seitenflächen flache Polygone ( Vielecke ) und durch die Kanten des Polyeders begrenzt. Bei manchen Polyedern wie Pyramiden oder Prismen ist es sinnvoll, zwischen Grundfläche und Seitenflächen zu unterscheiden. Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Beispiel für eine gekrümmte Seitenfläche . Eine Kugel hat keine voneinander abgrenzbaren Seitenflächen, sondern nur eine einzige gekrümmte, sie gleichmäßig umhüllende Oberfläche.

Die Seitenhalbierenden s a , s b und s c eines Dreiecks sind die Verbindungslinien zwischen je einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite. Sie gehören zu den besonderen Linien im Dreieck . Sie schneiden sich alle im selben Punkt S , den man den Schwerpunkt nennt. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 1 : 2 und die Seitenhalbierenden teilen die Dreiecksfläche jeweils in zwei gleich große Hälften.

Eine Sekante ist eine Gerade , die einen gegebenen Kreis in genau zwei Punkten schneidet (lat. „secare“ heißt abschneiden). Verläuft die Sekante durch den Mittelpunkt M , nennt man sie auch Mittelpunktsgerade oder Zentrale . In der Skizze ist die Gerade s eine Sekante . t ist eine Tangente (genau ein Berührpunkt), p eine Passante (gar kein gemeinsamer Punkt mit dem Kreis).

Bei einem Funktionsgraphen nennt man eine Gerade Sekante , wenn sie ihn in (mindestens) zwei Punkten schneidet. Wenn man die beiden Schnittpunkte beliebig dicht aneinander rücken lässt, wird die Sekante im Grenzfall zur Tangente .

Ein Sektor (Kreissektor, Kreisausschnitt) ist ein Teil der Kreisfläche , der von zwei Radien ( \(\overline{AM}\) und \(\overline{BM}\) , \(\left|\overline{AM}\right| = \left|\overline{AM}\right| = r\) ) und dem dazwischen liegenden Kreisbogen \(\widehat{AB}\) mit der (Bogen-)Länge \(b = \left|\widehat{AB}\right|\) begrenzt wird. Der vom Sektor aufgespannte Mittelpunktswinkel ist im Bogenmaß \(\alpha = \displaystyle \frac b r\) . Die Fläche des Sektors beträgt im Bogenmaß \(\displaystyle A_\text{Sektor} = \pi r^2\cdot \frac{\alpha}{2\pi} = \alpha \cdot \frac{r^2}{2}\) . Im Gradmaß ist \(...

Zwei Linien stehen aufeinander senkrecht , wenn sie einen Winkel von 90° (im Bogenmaß : \(\displaystyle \frac \pi 2\) ), d. h. einen rechten Winkel bilden. Ein anderes Wort für „senkrecht“ ist orthogonal . Wenn zwei Geraden g und h aufeinander senkrecht stehen, schreibt man \(g \perp h\) . Das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren ist dann 0. Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie parallel zu deren Normalenvektor ist, denn dieser ist gerade so definiert, dass er auf der Ebene senkrecht steht. Zwei Ebenen sind aufeinander senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht stehen...

Eine senkrechte Projektion ( Orthogonalprojektion ) bildet Punkte so auf eine Ebene oder Gerade ab, dass die Verbindungslinie zwischen Punkt und Bildpunkt senkrecht auf der Projektionsebene/-gerade steht. Man ignoriert also in gewisser Weise alle Komponenten außerhalb der Projektionsebene/-gerade und interessiert sich nur für den Anteil in der Projektionsebene/-gerade. Auf diese Weise wird aus einem dreidimensionalen Problem ein zwei- oder eindimensionales. Wenn der \(\vec b\) Ortsvektor von Punkt B ist und \(\vec a\) der Richtungsvektor der Geraden, auf die B projiziert werden soll ( \(\vec...

Bei einem Hypothesentest (Signifikanztest) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fehler 1. oder 2. Art nicht gemacht wird. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit ist also die Gegenwahrscheinlichkeit (Komplementärwahrscheinlichkeit) des Signifikanzniveaus .

Bei einem Hypothesentest (Signifikanztest) ist das Signifikanzniveau die maximal zulässige Irrtumswahrscheinlichkeit, in der Regel meint man dabei die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art . Die Komplementärwahrscheinlichkeit des Signifikanzniveaus (Wahrscheinlichkeit, dass der entsprechende Fehler nicht gemacht wird) wird manchmal Sicherheitswahrscheinlichkeit genannt.

Anderer Ausdruck für Hypothesentest . Die Bezeichnung kommt daher, dass man nach signifikanten, also nicht rein zufälligen Abweichungen von einer Annahme (der „Nullhypothese“) sucht.

Die Signum-Funktion liefert das Vorzeichen einer ganzen, rationalen oder reellen Zahl . Sie hat daher nur drei mögliche Funktionswerte : +1 („Plus“), 0 („kein Vorzeichen“) und –1 („Minus“) . Das Funktionszeichen ist „sgn“. Formal schreibt man \(\text{sgn}\,x = \left\{ \begin{array} \\ +1\ \text{für}\ x > 0 \\ \ \ 0 \ \ \text{für}\ x = 0 \\ -1\ \text{für}\ x < 0 \end{array} \right.\)

Die S inusfunktion ist eine trigonometrische Funktion , welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Sinus eines Winkels („ \(\sin \varphi\) “) zu einer auf ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Dazu wird das Argument im Bogenmaß angegeben, also als Zahlenwert, wobei der rechte Winkel (±90°) dem Wert \(\displaystyle \pm \frac \pi 2\) und der Vollwinkel dem Wert \(2\pi\) entspricht. Die Sinusfunktion ist periodisch , es gilt \(\sin x = \sin(x + k \cdot 2\pi) \ \ (k \in \mathbb Z)\) . Der Definitionsbereich ist, wie gesagt, \(D_f = \mathbb R\) , der Wertebereich ist W f = [–1...

Der Sinussatz ist neben dem Kosinussatz das zweite wichtige Hilfsmittel, um fehlende Größen am allgemeinen Dreieck auszurechnen. Er besagt, dass das Verhältnis einer Dreiecksseite zum Sinus des zugehörigen Winkels für alle drei Seiten gleich groß ist: \(\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\) Man kann mit Kosinussatz und Sinussatz auch die Kongruenzsätze für Dreiecke beweisen bzw. aus den dort angebenen Hauptgrößen alle übrigen berechnen – was meist wesentlich weniger Aufwand macht als die (eindeutige) Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Achtung...

In der Analytischen Geometrie bezeichnet man reelle Zahlen auch als Skalare, und zwar insbesondere dann, wenn es um den Unterschied zwischen „normalen“ Zahlen und Vektoren oder Matrizen geht. So ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren ein Skalar, d. h. eine Zahl, während das Vektorprodukt ( Kreuzprodukt ) von zwei Vektoren ein Vektor ist. Der Ausdruck „Skalar“ kommt vom italienischen Wort scala für „Leiter“, „Abstufung“ oder „Messskala“, soll also andeuten, dass man einfache Zahlen auf einer (einzelnen) Skala messen und vergleichen kann, während Vektoren mehrere Komponenten besitzen.

Die skalare Multiplikation , Skalarmultiplikation oder S-Multiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar , d. h. einer reellen Zahl . Dabei wird jede Komponente mit derselben Zahl multipliziert, wodurch sich der Betrag , aber nicht die Richtung des Vektors ändert (man kann auch sagen, der Vektor werde hierdurch „ skaliert “). Beispiel: \(3 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2,5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot -4 \\ 3 \cdot 2,5 \\ 3 \cdot 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -12 \\ 7,5 \\ 0 \end{pmatrix}\) Durch Abspalten eines skalaren Faktors lassen sich Vektoren oft...

Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man den Skalar (die reelle Zahl ) \(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\varphi,\) wobei \(\varphi\) der Winkel zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist (mit 0° \(\le\varphi\le\) 180°). Aus dieser Definition geht hervor, dass bei aufeinander senkrecht stehenden Vektoren das Skalarprodukt verschwindet (cos 90° = 0), bei parallelen Vektoren ist es maximal groß und entspricht dem Produkt der beiden...

Die Bezeichnung Spaltenvektor wird in der Analytischen Geometrie auf zweierlei Weise gebraucht: Entweder ist damit einfach ein Vektor gemeint, dessen Komponenten übereinander notiert werden (also sozusagen in einer vertikalen Spalte), z. B. \(\vec v = \begin{pmatrix} 3 \\ -\frac 2 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder man nennt bezeichnet eine Spalte einer Matrix als Spaltenvektor, z. B. wenn man die Spalten auf lineare Unabhängigkeit untersuchen will. Formal kann man einen Spaltenvektor durch eine Matrixtransposition in einen Zeilenvektor umwandeln: \(\begin{pmatrix} 3 \\ - \!\frac 2 3 \\ 0 \end...

Bei der Darstellung einer Ebene in Parameterform \(E: \vec x = \vec p+\lambda \cdot \vec u +\mu \cdot \vec v\) heißen die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) Spannvektoren , da sie sozusagen vom Aufpunkt oder Stützvektor \(\vec p\) aus die Ebene in die jeweiligen Richtungen „aufspannen“. Wird eine Gerade in Parameterform angegeben, sagt man Richtungsvektor statt Spannvektor.

In der beschreibenden Statistik ein Streuungsmaß , das einfach als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Datenwert definiert ist. Es ist daher sehr leicht zu berechnen, ist aber andererseits sehr empfindlich gegenüber Ausreißern, wie das folgende Beispiel zeigt: S = {1; 1; 2; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 1000} Obwohl alle Werte bis auf einen im Intervall [1; 6] liegen, beträgt die Spannweite 1000 – 1 = 999.

Das Spatprodukt \( \left( \vec a, \vec b, \vec c \right)\) von drei Vektoren \(\vec a\) , \(\vec b\) und \(\vec c\) ist definiert als das Skalarprodukt des Kreuzprodukts der ersten beiden Vektoren mit dem dritten: \( \left( \vec a, \vec b, \vec c \right)= \left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c \) . Die geometrische Bedeutung des Spatprodukts liegt daran, dass das von den drei Vektoren aufgespannte Parallelepiped gerade das Volumen \(V = \left| \left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c \right|\) hat. Das Spatprodukt ändert sich nicht, wenn man die Vektoren „zyklisch...

Eine Spiegelung ist eine eineindeutige Abbildung ind der Ebene oder im Raum, die Winkel und Längen unverändert lässt, also eine Bewegung bzw. Kongruenzabbildung . Man unterscheidet folgende Fälle: Bei einer Punktspiegelung wird eine Figur oder ein Körper an einem Punkt Z , dem Spiegelzentrum, gespiegelt. Dies entspricht einer Drehung um 180°. Dabei bleibt die Orientierung erhalten (ein rechter Handschuh ist auch nach der Punktspiegelung ein rechter Handschuh). Bei Geradenspiegelungen (zweidimensionaler Fall) bzw. Ebenenspiegelungen (dreidimensionaler Fall) ändert sich dagegen die Orientierung...

Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden oder Ebene mit einer Koordinatenebene (also der x 1 x 2 -, der x 2 x 3 - oder der x 1 x 3 -Ebene). Je zwei Spurpunkte legen eine Spurgerade fest. Die von den drei Spurgeraden begrenzte Figur wird manchmal Spurdreieck genannt. Der Abstand zwischen Spurpunkt und Nullpunkt (Koordinatenursprung) wird manchmal wie am Achsenkreuz in der Analysis Achsenabschnitt genannt. Beispiel für eine Gerade: \(g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}...

Ein Stammbruch ist eine Bruchzahl mit einer 1 im Zähler, z. B. \(\dfrac 1 2,\ \dfrac 1 {17},\ \dfrac 1 {20.000}\) . Man kann jeden echten Bruch in eine Summe aus Stammbrüchen zerlegen. Ein Stammbruch ist immer der Kehrwert einer natürlichen Zahl.

Eine Stammfunktion F einer Funktion f ist dadurch definiert, dass f ihre Ableitung ist: \(F'(x) = f(x)\) F muss natürlich differenzierbar sein können, um die Stammfunktion ihrer Ableitung sein zu können! Achtung: Während die Ableitung einer Funktion eindeutig bestimmt ist, kann eine Funktion beliebig viele Stammfunktionen haben. Denn wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist die Funktion F * = F + c ebenfalls eine Stammfunktion von f ! Außer durch eine additive Konstante unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion allerdings nicht: Die Differenz zweier Stammfunktionen...

Die Standardabweichung s bzw. \(\sigma\) ist die Wurzel aus der Varianz einer Stichprobe bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung . Die Standardabweichung einer Stichprobe ist ein häufig verwendetes empirisches Streuungsmaß . Je größer die Standardabweichung ist, desto stärker weichen die Stichprobenwerte vom Mittelwert ab.

Beispiele: \(X\) sei die Anzahl der Treffer (Sechser). Fünfmaliges Werfen eines Würfels: \(( n = 5, p = \frac{1}{6} )\) „ Genau einmal \(6\) “: \(P (X = 1) = B_{5;\frac{1}{6}} (1) = \dbinom{5}{1} \cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1 \cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^4 \approx 40 \%\) „ Mindestens zweimal \(6\) “: \(P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) = 1 - \textstyle \sum_{k=0}^1 B_{5;\frac{1}{6}} (k) \approx 1 - 0,80 = 20 \%\) „ Mindestens zweimal und höchstens viermal \(6\) “: \(P (2 \leq X \leq 4) = P (X \leq 4) - P (X \leq 1) =\textstyle \sum_{k=0}^4 B_{5;\frac{1}{6}} (k) - \textstyle \sum_{k...

Ein statistisches Diagramm ist eine grafische Darstellung der Werte ( Merkmalsausprägungen ) einer Stichprobe. Auf diese Weise lassen sich schnell Zusammenhänge und Trends erkennen, während die rechnerische Analyse mit den Mitteln der beurteilenden Statistik deutlich aufwendiger ist. Wichtige Diagrammtypen sind: Säulendiagramme Kreisdiagramme Kurven- und Punktdiagramme Eine Darstellung mit der Zahlengeraden als Achse, bei der die Häufigkeit als Flächeninhalt eines Rechtecks veranschaulicht wird, heißt Histogramm . Werden anstelle von Häufigkeiten Summenhäufigkeiten dargestellt, spricht man...

In der beschreibenden Statistik eine Variable bzw. Eigenschaft, bei der man die Verteilung ihrer Werte man untersuchen möchte. In einer statistischen Erhebung , etwa einer Meinungsumfrage oder einer Qualitätskontrolle in einer Fabrik, wird eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen. Die Beispiele zeigen, dass die Merkmalsträger sowohl Menschen als auch Objekte von Zufallsexperimenten sein können. Die Merkmalsausprägungen wiederum können sowohl quantitativ (Zahlen) als auch qualitativ sein (s. u.). Die Menge der Merkmalsausprägungen wird mit S bezeichnet, ihre Elemente mit a 1 , a 2 , …, a...

Bei der Parameterschätzung werden Schätzwerte für unbekannte statistische (bzw. stochastische) Parameter wie Erwartungswert \(E(X) = \mu\) und Varianz \(\sigma ^2\) der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X aus einer Stichprobe mit Mittelwert \( \overline{x}\) und Stichprobenvarianz \(s^2\) abgeleitet. Eine mathematische Abbildung, die jeder Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit einen Schätzwert für einen bestimmten Parameter der Grundgesamtheit zuordnet, heißt Schätzfunktion für diesen Parameter. Schätzen eines unbekannten Erwartungswertes \(\mu\) Sind die...

Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem ist das Verhältnis \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) . Sie entspricht dem Tangens des Steigungswinkels \(\alpha\) und dem Parameter m in der allgemeinen Gleichung einer linearen Funktion , y = f ( x ) = mx + b : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \alpha = m\) Anmerkung: Das Dreieck mit den Seiten \(\Delta x\) , \(\Delta y = \Delta f(x)\) und dem entsprechenden Geradenabschnitt heißt Steigungsdreieck . Bei beliebigen, d. h. im Allgemeinen nichtlinearen differenzierbaren Funktionen kann...

Ein Stellenwertsystem ist ein Schema, mit dem Zahlen mithilfe von Ziffern eindeutig dargestellt werden. Am gebräuchlichsten ist das Dezimalsystem bzw. Zehnersystem . Das Dezimalsystem hat seinen Namen davon, dass die Zahl 10 (lateinisch „decem“) die Basis dieses Systems ist: Jede Zahl wird als Summe von Produkten aus einer Zehnerpotenz ( Stufenzahl ) und einem Vorfaktor zwischen 0 und 9 dargestellt. Beispiel: 9367 = 9 · 1000 + 3 · 100 + 6 · 10 + 7 · 1 = 9 · 10 3 + 3 · 10 2 + 6 · 10 1 + 7 · 10 0 Dies gilt auch für sog. Dezimalzahlen , also Zahlen mit „Nachkommastellen“, bei diesen kommen dann...

Eine Funktion f ist an einer Stelle \(x_0 \in D_f\) genau dann stetig , wenn f an dieser Stelle definiert ist und ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) Anschaulich gesprochen heißt das, dass die Funktionswerte in unmittelbarer Nähe von x 0 beliebig dicht an f ( x 0 ) „heranrürcken.“ Beispiel: \(f : x \mapsto f (x) = 2 x^3 \ \ ( x \in \mathbb{R})\) ist an der Stelle x 0 = 1 stetig, denn f(1) = 2 ·1 3 = 2 ist wohldefiniert und es gilt \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} 2x^3 = 2 = f(1)\) . ▶ Anmerkung Für die Randwerte a und b eines Intervalls...

In der beschreibenden Statistik ist eine Stichprobe eine Teilmenge der untersuchten Grundgesamtheit . Da man z. B. vor einer Bundestagswahl nicht alle Wahlberechtigten nach ihren Ansichten befragen kann, wählt man eine Stichprobe von z. B. 2000 Personen aus, bei denen die sog. Ausprägungen von statistischen Merkmalen wie „bevorzugte Partei“ oder „wichtigstes politisches Thema" ermittelt werden. Man kann die Anzahl der Ausprägungen eines bestimmten Merkmals entweder als absolute oder als relative Häufigkeit angeben. Die Gesamtzahl der Elemente einer Stichprobe nennt man ihren Umfang , im obigen...

Neben Analytischer Geometrie und Analysis eines der drei abiturrelevanten Themengebiete der Mathematik. Der Ausdruck „Stochastik“ leitet sich vom griechischen Wort für „vermuten“ ab, was ganz gut beschreibt, worum es in der Stochastik geht: um Zufallsexperimente , Wahrscheinlichkeiten , Statistiken, Messdaten und die mit ihnen verbundenen Unsicherheiten und Fehlergrenzen. Die Stochastik gliedert sich im Wesentlichen in die folgenden Teilgebiete: Beschreibende Statistik : Erheben von Umfrage- oder Messdaten ( Stichproben ) und die Darstellung der Ergebnisse in Grafiken , Tabellen oder mithilfe...

Eine Aussage über stochastische Ereignisse bzw. Zufallsvariablen , derzufolge sich zwei solche stochastischen Größen gegenseitig nicht beeinflussen. Dem liegt die folgende Definition zugrunde (der Einfachheit halber betrachten wir ab jetzt nur für Ereignisse, die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist eher von theoretischem Interesse und für die Schule nicht so wichtig): Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig , wenn \(P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)\) andernfalls sind sie (stochastisch) abhängig . Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, so sind auch die folgenden...

Eine andere Bezeichnung für eine Halbgerade , also eine gerade Linie mit einem Ausgangspunkt und ohne Endpunkt.

Die Strahlensätze sind wichtige geometrische Merksätze, mit denen man unbekannte Streckenlängen ausrechnen kann. Sie beruhen auf den Prinzipien von zentrischer Streckung und Ähnlichkeit . Erster Strahlensatz Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so ist das Verhältnis entsprechender Längen auf beiden Strahlen gleich, denn entsprechende Längen auf den Strahlen enthalten gleich viele Abschnitte. \(\displaystyle \frac{|SA_1|}{|SA_2|}=\frac{|SB_1|}{|SB_2|}\) oder \(\displaystyle \frac{|A_1A_2|}{|A_2A_3|}=\frac{|B_1B_2|}{|B_2B_3|}\) In der Grafik (unten) gilt beispielsweise: \(...

Eine Strecke ist ein Abschnitt auf einer Geraden , der durch seine zwei Randpunkte festgelegt wird. Sie ist die kürzeste Verbindung zwischen diesen zwei Punkten .

Bei einer zentrischen Streckung der Faktor, um den Längen vergrößert oder verkleinert werden.

In der beschreibenden Statistik ist ein Streuungsmaß ist ein statistischer Parameter (bzw. eine Kenngröße oder Maßzahl ), die Auskunft über die Variabilität der Daten gibt, also darüber, wie sehr die Datenwerte einer Stichprobe voneinander und vom mittleren Wert abweichen („streuen“). Grundsätzlich kann man die Streuung nur bei quantitativen Messdaten untersuchen, also wenn es für die Werte eine metrische Skala gibt (wenn die Stichprobenwerte keine Zahlen sind, kann man keine Differenzen zwischen ihnen berechnen). Die wichtigsten Streuungsmaße sind: Spannweite (Differenz von größtem und...

Ein einfaches Verfahren, um ohne Computer oder Taschenrechner die absoluten Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen einer Stichprobe zu ermitteln. Dazu notiert man die verschiedenen Merkmalsausprägungen und setzt für jedes Auftreten einen Strich. Übersichtlicher wird es, wenn die Striche in Fünfergruppen (fünfter Strich als Querstrich) zusammengefasst werden. Beispiel: Merkmal: Handy-Farbe rot grün blau Strichliste IIII IIII IIII II IIII II absolute Häufigkeit 4 12 7

Die Zahlen 1, 10, 100, 1000 usw. heißen Stufenzahlen . Man erhält jede Stufenzahl aus der vorhergehenden durch Multiplikation mit der Grundzahl 10. Deshalb heißt unser Zahlensystem auch Zehnersystem oder Dezimalsystem . Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Summe von Vielfachen der Stufenzahlen schreiben, wobei ihre Ziffer als Faktoren ( Koeffizienten ) vor den Stufenzahlen stehen: Beispiel: \(8418=8\cdot1000+4\cdot100+1\cdot10+8\cdot1\) Je nach Definition werden auch die zu den Nachkommastellen der Dezimalzahlen gehörigen Zahlen 0,1, 0,01, 0,001, … als Stufenzahlen bezeichnet. In...

Bei der Darstellung von Geraden und Ebenen in Parameterform ist der Stützvektor derjenige Vektor, zu dem man ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors bzw. der Spannvektoren addiert. Der Stützvektor ist der Ortsvektor des Aufpunkts .

Die Substitutionsregel der Integralrechnung ist gewissermaßen die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten . Der „Trick“ besteht dabei darin, eine zu integrierende Funktion als Produkt „Verkettung mal innere Ableitung“ zu schreiben. Es ist nämlich, wenn f im Intervall [ g ( a ); g ( b )] stetig und g im Intervall [ a ; b ] stetig differenzierbar ist: \(\displaystyle \int f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int f ( t ) \, \text dt = F (x) + C\) mit t = g ( x ) bzw. \(\displaystyle \int_a^b\! f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int_{g(a)}^{g(b)}\! f ( t ) \, \text dt = \Big[F (x) \Big]_{g(a)...

Die Subtraktion ist eine Grundrechenart und als solche die Umkehrung der Addition . Das Rechenzeichen ist das Minus „ –“ (lateinisch „weniger“). Achtung: Das Rechenzeichen Minus ist etwas anderes als das Vorzeichen „Minus“, auch wenn beide Begriffe miteinander zu tun haben. Einen Rechenausdruck mit Minuszeichen, wie „9 – 7“ ezeichnet man als Differenz ( lateinisch „Unterschied“) . Vor dem Minuszeichen steht der Minuend ( lateinisch „das zu Vermindernde“), dahinter der Subtrahend ( lateinisch „das Abzuziehende“). Das Ergebnis einer solchen Rechnung heißt Wert der Differenz oder schlicht auch...

Andere Bezeichnung für die kumulative bzw. kumulierte Häufigkeit von Stichprobenwerten.

Die Summenregel ist die Ableitungsregel für die Summe zweier Funktionen f , g : \((f\pm g)'(x) = f'(x)\pm g'(x)\)

Andere Bezeichnung für die zweite Pfadregel, die Additionsregel .

Andere Bezeichnung für eine kumulative bzw. kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung , manchmal auch für die kumulierte Häufigkeit von Stichprobenwerten.

Eine Figur oder ein Körper heißt symmetrisch , wenn sie bzw. er bei einer Bewegung ( Kongruenzabbildung ) auf sich selbst abgebildet werden kann. Man unterscheidet drei Arten von Symmetrien: Wird die Figur bei einer Geradenspiegelung an der Symmetrieachse (Spiegelachse) auf sich selbst abgebildet, ist sie axial- bzw. achsensymmetrisch . Beispiele: Im dreidimensionale Raum entspricht die Ebenenspiegelung der Achsenspiegelung. Wird die Figur bzw. der Körper bei einer Punktspiegelung an einem Punkt Z , dem Symmetriezentrum , auf sich selbst abgebildet, ist sie bzw. er zentral- bzw...

Funktionsgraphen können, wie jedes geometrische Objekt, grundsätzlich ganz verschiedene Symmetrien aufweisen. Bei einer Kurvendiskussion interessiert man sich aber vor allem für die folgenden beiden Symmetrien: Punktsymmetrie zum Ursprung. Dies ist genau dann der Fall, wenn im ganzen Definitionsbereich D , also für alle \(x \in D\) gilt: f (– x ) = – f ( x ) Achsensymmetrie zur y -Achse. Dies liegt genau dann vor, wenn für alle \(x \in D\) gilt: f (– x ) = f ( x ) Ein einzelner Funktionsgraph kann nicht symmetrisch zur x -Achse sein, weil es zu jedem x nur höchstens einen Funktionswert geben...