Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt

Der Ereignisbaum heißt auch Baumdiagramm. Einzelne Äste stehen in solch einem Diagramm für die Anzahl der Möglichkeiten die eintreten können.

Wird nach der Wahrscheinlichkeit eines speziellen Ereignisses gefragt, folgst du den einzelnen Pfaden bis zum Ziel. Anschließend berechnest du das Produkt der Wahrscheinlichkeitswerte der Teilstrecken (1. Pfadregel = Produktregel).

Das klassische Beispiel der Stochastik für einen Ereignisbaum ist das Bernoulli-Experiment. Der Wurf einer Münze zählt dazu. Die Münze liefert dir zwei Ergebnisse: Kopf und Zahl.

Bei diesem Versuch kann man davon ausgehen, dass jedes Ereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt.

Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei Ergebnissen eintritt, 1 zu 2, also ½. Dein Ereignisbaum setzt sich aus zwei Ästen zusammen, die jeweils den Wert ½ aufweisen:

Möchtest du ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du die Kombination Kopf-Zahl-Zahl erhältst, erweiterst du den Baum. Durch diese mehrstufige Darstellung des Zufallsexperiments fällt es dir leichter, die einzelnen Werte abzulesen und miteinander zu multiplizieren (1. Pfadregel). Das Produkt ist die Wahrscheinlichkeit der gesuchten Kombination.

Für den Münzwurf Kopf-Zahl-Zahl folgst du drei Pfaden, die jeweils den Wert ½ aufweisen. Somit gilt für deine Multiplikation: ½ * ½ * ½ = 1/8 ? Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kombination beim Münzwurf eintritt, ist 1 zu 8.

Willst du zusätzlich berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse Kopf-Zahl-Zahl und Kopf-Zahl-Kopf ist, wendest du die 2. Pfadregel (Summenregel) an. Dabei bildest du aus den beiden Einzelereignissen jeweils das Produkt und addierst die beiden Ergebnisse miteinander: ½ * ½ * ½ + ½ * ½ * ½ = 1/4

Wie du siehst, ist ein Baumdiagramm nützlich, um eine Aufgabe mit Wahrscheinlichkeiten besser zu verstehen und zu lösen. Die Ergebnisbäume verwendest du bei Zufallsexperimenten und fasst alle Ereignisse E in einer Ergebnismenge M (alternativ ?) zusammen.

Eine ähnliche Variante wendest du an, wenn du Lösungen einer Gleichung in einer Lösungsmenge zusammenfasst. Für das genannte Münzwurfbeispiel sieht die Ergebnismenge M bei einem einfachen, nicht mehrfach hintereinander ausgeführten Zufallsexperiment so aus:

M = {Kopf; Zahl}

Die Anzahl der Ereignisse in der Menge entspricht der Mächtigkeit des Ergebnisraumes. Beim einfachen Münzwurf gibst du die Mächtigkeit 2 an ? |M| = 2.

Neben den eigentlichen Ereignissen gibt es die Gegenereignisse. Dies sind Ergebnisse, die eintreten, aber kein Teil der Ergebnismenge sind.

Ein Gegenereignis hast du zum Beispiel, wenn du in deiner Ergebnismenge nur das Ereignis Kopf aufnehmen möchtest. Dann ist Zahl das Gegenereignis, da es bei einem Zufallsexperiment eintritt.

Bei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1. Bei Gegenereignissen gilt 1 – P(E). Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0.

Um dir alle Kombinationen von Ereignissen besser vorzustellen, zeichne eine Vierfeldertafel, damit du kein Ereignis vergisst.
Du hast zum Beispiel die Menge M = {1; 2; 3; 4;} gegeben, wobei A = {2} und E = {1;3}.

In die Vierfeldertafel zeichnest du nun alle möglichen Kombinationen der beiden Mengen, wobei du jeweils das Ereignis und das Gegenereignis auflistest, A und „Nicht A“, also ?, sowie E und „Nicht E“, also ?.

Aus den einzelnen Kombinationen ergeben sich die Schnittmengen der Kombinationen:

E ? A = {} ? Leere Menge, da A und E keine gemeinsamen Zahlen, also keine Schnittmenge besitzen.
E ? ? = {1; 3}
? ? A = {2}
? ? ? = {4} ? Keine Leere Menge, da aus der Ursprungsmenge M die Zahl 4 weder in A noch in E enthalten ist.

Weitere Begriffe, die dir in der Stochastik begegnen, sind die absolute und die relative Häufigkeit.

Absolute Häufigkeit Hn (E): Anzahl des Eintretens eines Ereignisses E bei n Versuchen

Relative Häufigkeit hn (E): Verhältnis absoluter Häufigkeiten zur Anzahl der Versuchsdurchführungen