Wurf

Der Wurf ist die Bewegung eines Körpers durch ein Schwerefeld (üblicherweise das der Erde), die mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) beginnt. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands (s. u.) überlagern sich beim Wurf zwei Bewegungen:

• eine gleichförmig-geradlinige Bewegung in Richtung von \(\vec v_0\)
• ein freier Fall, d. h. eine beschleunigte Bewegung nach unten, wobei die Beschleunigung gleich der Fallbeschleunigung \(\vec g\) ist.

Je nach Richtung von \(\vec v_0\) kann man drei Fälle unterscheiden (wählt man die x-Achse in Richtung von \(\vec v_0\) und die y-Achse parallel zu \(\vec g\), also vertikal, kann man in allen Fällen zweidimensional rechnen).

Senkrechter Wurf

Beim senkrechten Wurf stehen \(\vec v_0\) und \(\vec g\) (anti)parallel in y-Richtung und man kann sogar eindimensional rechnen (also ganz ohne Vektoren). Es gelten die folgenden Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze (wenn der Startpunkt bei y = 0 gesetzt wird):

\(s_\text{Wurf}(t) = v_0 \cdot t\)

\(s_\text{Fall}(t) = - \dfrac g 2 \cdot t^2\)

\(s(t) = s_\text{Wurf}(t) + s_\text{Fall}(t) = v_0 t- \dfrac g 2 t^2\)

Die Fallbewegung ist dabei immer nach unten gerichtet (daher das Minuszeichen), v₀ ist beim Wurf nach oben positiv, beim Wurf nach unten negativ.

Schiefer Wurf

Im allgemeinen Fall stehen die Vektoren  \(\vec v_0\) und \(\vec g\) in einem beliebigen Winkel \(\alpha\) zueinander (\(0 < \alpha < 90°\), für \(\alpha = 0\) s. u.).

Im Folgenden sei die Startposition immer bei x = y = 0, der Wurf erfolgt also vom Erdboden aus. Die Komponente von \(\vec v_0\) sind

\(\vec v_{0,\, x} = v_0 \cos \alpha; \quad \vec v_{0,\, y} = v_0 \sin \alpha\)

 

Die Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze lauten nun:

\(\begin{matrix} x(t) = v_0 t \cdot \cos \alpha;\quad \quad & y(t) = v_0 t \cdot \sin \alpha - \dfrac g 2 t^2 \\ v_x(t) = v_{0,\, x} = v_0 \cdot \cos \alpha; & v_y(t) = v_0 \cdot \sin \alpha - gt \end{matrix}\)

Löst man die Gleichung für x(t) nach der Zeit t auf und setzt das Ergebnis in die Gleichung für y(t) ein, so ergibt sich als allgemeine Bahnkurve eines (ohne Luftwiderstand) vom Koordinatenursprung aus geworfenen Körpers die Wurfparabel:

\(y(t) = - \dfrac g {2v_0^2 \cos^2 \alpha} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x\)

 

Steigzeit t_s und Wurfhöhe y_max ergeben sich im Prinzip wie beim senkrechten Wurf:

\(\qquad 0 = v_0 \sin \alpha - gt \Rightarrow ​t_\text s = \dfrac {v_0} g \sin \alpha \\ \Rightarrow y_\text{max} = y(t_\text s) = \dfrac {v_0^2\sin^2 \alpha} {2g}\)

Die Wurfzeit t_w ist die Zeit zwischen dem Abwurf und dem Auftreffen am Erdboden, also t_w = t(y = 0), man erhält sie aus dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung:

\(\qquad 0 = v_0 t_\text w \sin \alpha - \dfrac g 2 t_\text w^2 \quad \Rightarrow ​\quad t_\text w = \dfrac {2v_0} g \sin \alpha = 2 t_\text s\)

die Wurfzeit ist also doppelt so groß wie die Steigzeit – dies folgt übrigens bereits aus der Symmetrie der Wurfparabel (Abb.)!

Schließlich ist die Wurfweite

\(x_\text w = x(t_\text w) = \dfrac {2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha} g = \dfrac {2v_0^2\sin 2\alpha} g\)

(dabei wurde der trigonometrische Lehrsatz \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\) benutzt). Die Wurfweite wird maximal, wenn \(\sin 2\alpha = 1\)sin 2a = 1 wird, also für \(\alpha = 45°\).

Unter Berücksichtigung des Luftwiderstands findet man, dass die Bahnkurve im abfallenden Teil steiler wird als hier berechnet, daher ist der Winkel maximaler Wurfweite in Wirklichkeit etwas größer als 45°.

Waagerechter Wurf

Ein weiterer Spezialfall des schiefen Wurfs (neben dem senkrechten Wurf) ist der Wurf mit \(\alpha = 0°\) aus einer Anfangshöhe y₀. Die Bahnkurve ist dann eine Parabel, deren Scheitelpunkt bei y₀ liegt:

\(y(t) = y_0 - \dfrac g {2v_0^2}\cdot x^2\)