Das Gleichsetzungsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Man formt dabei zwei Gleichungen so um, dass auf der einen Seite jeweils dieselbe Variable mit gleichem Koeffizienten steht, sodass die anderen Seiten der beiden Gleichungen gleichgesetzt werden können. Dadurch wird eine Variable eliminiert.Führt man das bei n Gleichungen (n – 1)-mal durch, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen.
Beispiel:
\(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1 &-& x_2 &-& 3 x_3 &=& - 2 \\ &(\text{III})& 3 x_1 &+& 2 x_2 &-& 2 x_3 &=& - 5 \end{matrix}\)
(I) und (II) nach x2 auflösen und gleichsetzen: 1 – x1 – x3 = 2x1 – 3x3 + 2 führt auf (IV),
(I) und (III) nach 2x2 auflösen und gleichsetzen: 2 – 2x1 – 2x3 = –5 – 3x1 + 2x3 führt auf (V):
\(\begin{matrix} &(\text{IV})& -3x_1 && &+& 2x_3 &=& 1 \\ &(\text{V}) & -x_1 && &+& 4 x_3 &=& 7 \end{matrix}\)
(IV) und (V) nach 4x3 auflösen und gleichsetzen: 2 + 6x1 = 7 + x1, also
\(\begin{matrix} &(\text{VI})& 5x_1 && & & &=& 5 \end{matrix}\)
Aus (VI) liest man direkt x1 = 1 ab, durch Einsetzen in (IV) erhält man x3 = 2 und aus (I) dann x2 = –2.
\(L= \{(1|-\!2|2)\}\)