Wie erkennt man rationale Funktionen?
Bevor du eine Aufgabe zu dieser Art von Funktionen löst, solltest du erst einmal eine rationale Funktion identifizieren können. Funktionen sehen im Allgemeinen folgendermaßen aus:
\(y\,=\,f(x)\)
\(y\) stellt den Funktionswert dar, \(x\) ist die Variable. Anstelle von \(x\) kann auch jeder andere Buchstabe als Variable verwendet werden. Eine Variable steht stellvertretend für eine bestimmte, unbekannte Zahl. \(f(x)\) ist die Funktion, die auf die Variable angewendet wird. Als Ergebnis ergibt sich dann der Funktionswert. Eine Funktion kann ganz unterschiedlich aussehen.
Bei den rationalen Funktionen können folgende Funktionen auftreten:
- lineare Funktionen
- quadratische Funktionen
- Potenzfunktionen
- Polynomfunktionen
- gebrochenrationale Funktionen
Das Gegenteil von rationalen Funktionen sind die irrationalen Funktionen.
Polynomfunktionen
Als Polynomfunktion bezeichnet man eine rationale Funktion folgender Art:
\(f(x)\,=\sum \limits_{n\;\leq\;0}\,a_nx^n\)
Lineare und quadratische Funktionen gehören zu den einfachsten Formen dieser Art. Lineare Funktionen bestehen aus einer Variablen mit der Potenz \(1\) und einer Konstante. Ein Beispiel für eine lineare Funktion:
\(f(x)\,=\,5x\,+\,8\)
Quadratische Funktionen hingegen bestehen immer aus einer Variablen mit der Potenz \(2\). Ein Beispiel für eine quadratische Funktion:
\(f(x)\,=\,4x\,^2\)
Funktionen mit einer höheren Potenz wie \(3\) oder auch \(10\) nennt man Polynomfunktion dritten beziehungsweise zehnten Grades.
Welche Aufgaben gibt es für rationale Funktionen?
Da es sehr viele Teilgebiete zum Thema rationale Funktionen gibt, sind auch sehr viele mögliche Aufgaben denkbar. Unabhängig vom Aussehen der Funktion gibt es jedoch ein paar sehr typische Übungen.
Die gängigsten Aufgabentypen zu rationalen Funktionen sind:
- Nullstellen bestimmen
- Graph der Funktion zeichnen
- Funktion aus einer Wertetabelle oder einem Graphen aufstellen
- Extrempunkte bestimmen
- Wendestellen bestimmen
- Wertebereich bestimmen
Zusammen ergeben die Aufgaben eine Kurvendiskussion, wobei hier meist die Funktion schon gegeben ist. Eine Kurvendiskussion wirst du sehr häufig durchführen müssen, der Ablauf ist immer gleich.
Am Anfang lernst du lineare und quadratische Funktionen kennen. Später steigert sich der Schwierigkeitsgrad immer weiter – bis hin zu gebrochenrationalen Funktionen.