-
Aufgabe 1
Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden. Die Kanne wird entsprechend der folgenden Abbildung im Koordinatensystem liegend betrachtet.
Außen wird der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) beschrieben durch eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+6\,;\, x\) und \(f(x)\) in Zentimetern.
- Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt 2 mm. Begründen Sie, dass innen der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.
Bestimmen Sie den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der obigen Abbildung dargestellt. Seine Wandstärke beträgt 3 mm. Der Einsatz reicht vom Boden bis 1 cm unterhalb der Öffnung.
Berechnen Sie die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er 0,75 Liter Flüssigkeit enthält. - An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für \(-8\leq x \leq 8\) beschrieben durch eine Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac{1}{256}\cdot x^3-\frac{3}{64}\cdot x^2+9\,;\,x\) und \(h(x)\) in Zentimetern.
Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle \(x=-8\) sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.
Der obere Rand der Hülle hat im Punkt \(B(8 | 4)\) eine waagerechte Tangente.
Bestimmen Sie die Größe des Winkels \(\alpha\), unter dem der Griff im Punkt \(B\) auf den oberen Rand der Hülle trifft.
Zeigen Sie, dass der parallel zur \(y\)-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als 3,7 cm ist. - Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt.
Berechnen Sie die Masse des dafür benötigten Kunststoffs, wenn 1cm³ Kunststoff eine Masse von 0,91g hat (Nur für CAS).
Berechnen Sie das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs (Nur für GTR).
Die senkrecht zum Graphen von \(f\) gemessene Dicke \(d\) der Hülle soll untersucht werden. Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von \(f\) durch den Punkt \(C(0 | 6)\) verläuft, hat die Gleichung \(n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6.\)
Untersuchen Sie, ob die Dicke \(d\) im Punkt \(C(0 | 6)\) um weniger als 10% von der parallel zur \(y\)-Achse gemessenen Wandstärke abweicht. - Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen \(p\) dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.
In der folgenden Abbildung ist der Graph einer möglichen Ableitungsfunktion \(p'\) dargestellt.
Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion \(p\) dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:- Die \(x\)-Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der \(x\)-Koordinate des Hoch- und der \(x\)-Koordinate des Tiefpunktes.
- Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.
- Die parallel zur y-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt 2 mm. Begründen Sie, dass innen der obere Rand der Hülle für \(-11\leq x \leq 11\) durch eine Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{512}\cdot x^3-\frac{3}{8}\cdot x+5,8\) beschrieben wird; \(x\) und \(g(x)\) in Zentimetern.
Abiturprüfung
Mathematik
Abitur