Exponentialgleichungen

Was du wissen musst

• Welche Spezialfälle von Exponentialgleichungen gibt es?

  Für die Exponentialgleichung gibt es verschiedene Spezialfälle. Diese richten sich nach der jeweiligen Basis \(a\):

  • Im Rahmen des Dual- oder Binärsystems tritt die Basis \(2\) häufig in der Informatik auf. Dort wird sie beispielsweise für die näherungsweise Darstellung von nicht abbrechenden rationalen Zahlen verwendet.
  • Die Zahl \(10\) ist aufgrund unseres Dezimalsystems beliebt. Anwendung findet die Basis \(10\) in Zusammenhang mit logarithmischen Darstellungen von Achsenbeschriftungen.
  • Da natürliche Exponentialfunktionen sehr verbreitet sind, tritt auch die eulersche Zahl \(e\) als Basis regelmäßig auf. Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, deren numerischer Wert \(e=2{,}718281\dots\) lautet. Sie ist in der Mathematik – insbesondere in der Analysis – von großer Bedeutung.

• Wie löst man Exponentialgleichungen erfolgreich?

  Im Kopf kannst du nur die einfachen Exponentialgleichungen lösen. Für schwierigere Gleichungen dieser Art brauchst du in der Regel den Logarithmus, um zu einer Lösung zu kommen. Je nach Basis deines Exponentialterms musst du den passenden Logarithmus anwenden:

  \(\begin{align} 2^x &= b &|\log_{2}\\ x &= \log_{2}(b) \end{align}\)

  Das funktioniert, weil der Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist und umgekehrt. Nachdem du die Exponentialgleichung logarithmiert hast, wird die Basis \(\boldsymbol a\) der Potenz aus der Exponentialgleichung zur Basis des Logarithmus.

  Lösen von Exponentialgleichungen mit Basis 10 oder e

  Um Exponentialgleichungen mit \(e\) zu lösen, brauchst du also den natürlichen Logarithmus \(\boldsymbol{\log_{e}}\), der meistens nur \(\boldsymbol \ln\) geschrieben wird. Für Exponentialgleichungen mit der Basis \(10\) verwendest du den dekadischen Logarithmus \(\boldsymbol {\log_{10}}\) oder \(\boldsymbol \lg\):

  \(\begin{align} 10^x &= b &|\lg\\ x &= \lg(b) \end{align}\)

  \(\begin{align} e^x &= b &|\ln\\ x &= \ln(b) \end{align}\)

  Hilfreiche Rechenmethoden

  Grundsätzlich kann jeder Exponentialterm so umgeformt werden, dass er die Basis \(e\) erhält:

  \(\begin{align} a^x=e^{x\ln(a)} \end{align}\)

  Das kann zum Beispiel dann hilfreich sein, wenn du auf deinem Taschenrechner keine Taste für den Logarithmus mit beliebiger Basis hast.

  Neben dem Logarithmus können dir auch die Potenzgesetze beim Lösen von Exponentialgleichungen in Mathe helfen. In manchen Fällen kannst du mit diesen Rechengesetzen die Exponentialgleichung so vereinfachen, dass du die Gleichung im Kopf lösen kannst. Dann musst du die Gleichung nicht logarithmieren und kommst schneller ans Ziel!

• Was muss man beim Lösen von Exponentialgleichungen mit dem Taschenrechner beachten?

  Auf Taschenrechnern ist die Auswahl an Logarithmus-Tasten unterschiedlich. So kann es sein, dass du Tasten

  • für den Logarithmus zu beliebiger Basis \(\log_{x}\),
  • für den dekadischen Logarithmus \(\lg\) und
  • für den natürlichen Logarithmus \(\ln\) hast.

  Es kann aber auch sein, dass du nur über eine oder zwei dieser Tasten verfügst. Pass auf, was sich hinter der Taste mit \(\log\) verbirgt: Bei einigen Modellen verbirgt sich dahinter der dekadische Logarithmus, der eigentlich \(\boldsymbol {\log_{10}}\) oder \(\boldsymbol \lg\) heißen müsste! Du solltest dich also schon vor einer Prüfung mit deinem Taschenrechner vertraut machen. Sei vorsichtig, wenn du dir einen ausleihen musst.

  Wenn du keine Taste für den allgemeinen Logarithmus hast, musst du keine Panik bekommen! Du kannst einen Logarithmus mit beliebiger Basis immer durch einen Quotienten eines anderen Logarithmus ersetzen:

  \(\begin{align} \log_{a}x=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} \end{align}\)

  Wenn du z. B. nur den dekadischen Logarithmus \(\lg\) zur Verfügung hättest, aber eine Gleichung wie \(7^x=9\) lösen müsstest, könntest du Folgendes tun:

  \(\begin{align} 7^x&=9\\ x&=\log_7(9)\\ x&=\frac{\lg9}{\lg7} \end{align}\)

  Anstelle des dekadischen Logarithmus könntest du natürlich auch den natürlichen oder einen beliebigen anderen als Ersatz verwenden.

• Wozu braucht man Exponentialgleichungen?

  Exponentialgleichungen braucht man vor allem, um exponentielle Wachstumsvorgänge mathematisch zu beschreiben. Damit lässt sich zum Beispiel die Enzymkinetik oder das Wachstum von Krebszellen in der Biologie und Medizin oder auch der Zerfall radioaktiver Elemente in der Physik berechnen.

  In Mathe begegnen dir die Exponentialgleichungen besonders häufig bei Aufgaben zum Zinseszins. Dabei geht es meistens darum, das exponentielle Wachstum des Startkapitals zu berechnen und so festzustellen, wie viel Geld sich nach einer gewissen Zeit auf einem Konto befindet. Auch in der Wirtschaft werden Exponentialgleichungen für Wachstumsmodelle herangezogen.