Zahlenbereiche – Lexikoneinträge
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In der Mengenlehre ist ein Element irgendetwas, das zu einer Menge gehört. Beispiele: 1; 13 und 152.936.749.370 sind Elemente der Menge \(\mathbb N\) der natürlichen Zahlen . 1 und \(-\dfrac 1 \pi\) sind Elemente der Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . Niedersachsen ist ein Element der Menge der deutschen Bundesländer. Die leere Menge ist die einzige Menge, die kein Element enthält. In einem Körper (z. B. der Menge \(\mathbb R\) ) besitzen die Rechenoperationen Addition und Multiplikation je ein neutrales Element , nämlich die 0 bzw. die 1. Außerdem gibt es zu jeder reellen Zahl x ein...
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Die Menge \(\mathbb Z\) der ganzen Zahlen umfasst die natürlichen Zahlen und ihre Gegenzahlen : \(\mathbb Z = \{ z| z\in \mathbb N \lor -z\in \mathbb N\} = \ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ \ldots\) Die natürlichen Zahlen (außer 0) werden auch positive ( ganze ) Zahlen genannt, ihre Gegenzahlen sind die negativen Zahlen . Die Null ist weder positiv noch negativ! In der Menge \(\mathbb Z\) hat – anders als in \(\mathbb N\) – jede Subtraktion ein Ergebnis innerhalb dieses Zahlenbereichs. Divisionen gehen dagegen auch in \(\mathbb Z\) nur „auf“, wenn der Divisor Teiler des Dividenden...
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Intervallschachtelungen dienen zur exakten Definition von irrationalen Zahlen bzw. allgemein von reellen Zahlen . Eine Intervallschachtelung ist eine Folge ( I n ) von Intervallen , wobei das nächste Glied immer im vorigen Glied der Folge enthalten ist und nur eine Zahl in allen Folgengliedern enthalten ist. Diese Zahl ist die rationale oder irrationale Zahl, welche durch diese Intervallschachtelung eindeutig festgelegt ist. Die Intervallfolge wiederum wird definert durch die monoton steigende Zahlenfolge ( a n ) und die monoton fallende Zahlenfolge ( b n ), welche jeweils die Intervallgrenzen...
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Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Quotient bzw. Verhältnis (lateinisch „ratio“) aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also nicht zur Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen gehören. Die irrationalen und die rationalen Zahlen bilden zusammen die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . (Es gibt keinen speziellen „Mengenbuchstaben“ für die Menge der irrationalen Zahlen, man kann sie beispielsweise als \(\mathbb R \setminus \mathbb Q\) schreiben. Den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erkennt man an ihrer Darstellung als Dezimalzahlen : Es...
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Eine Menge ist, ganz allgemein formuliert, entweder etwas, das andere Objekte (Dinge, Wesen oder was auch immer) enthält, die man die Elemente der Menge nennt. Der Begriff der Menge ist so abstrakt wie grundlegend für die Mathematik, es gelten nur die folgenden Bedingungen: Man kann von jedem Objekt sagen, ob es Element einer bestimmten Menge ist oder nicht. Ein Element kann auch mehrfach bzw. beliebig oft in einer Menge enthalten sein. Es gibt in einer Menge keine Reihenfolge oder sonstige Ordnung, wichtig ist nur „drin oder nicht“. Mengen können kein Element, endlich viele Elemente oder...
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D ie Mengenlehre ist d as Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Früher war die Mengenlehre sogar Stoff der Grundschule und es gab Schulbücher mit Titeln wie „Lustige Mengenlehre“. Heute wird sie eher nebenbei behandelt, ihre Grundlagen sind aber nach wie vor wichtig für viele andere mathematische Teilgebiete.
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Eine wichtige Eigenschaft aller natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen ( Zahlenbereiche ) ist, dass man sie immer eindeutig anordnen und vergleichen kann – man weiß immer genau, wo man sie einzusortieren hat. Etwas formaler sagt man: Für zwei Zahlen x und y gilt immer genau eine der drei folgenden Aussagen : x ist größer als y : x > y x ist gleich y : x = y x ist kleiner als y : x < y Man kann sich dies so veranschaulichen: Zwei Zahlen liegen auf der Zahlengeraden entweder an exakter derselben Stelle (gleich), oder eine von ihnen ist rechts und die andere links (größer bzw. kleiner...