Wurzelfunktionen – Lexikoneinträge
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Mit einem Funktionsgraphen kann man die Eigenschaften einer Funktion bildlich darstellen. Dazu werden jeder x -Wert und der dazugehörende Funktionswert ( y -Wert, f ( x )) als Koordinaten eines Punkts in der Ebene aufgefasst und mithilfe eines rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystems aufgezeichnet. Bei der Darstellung von Funktionsgraphen nennt man das Koordinatensystem meist „ Achsenkreuz “. In der Schule sind die meisten behandelten Funktionen auf Intervallen von reellen Zahlen oder sogar auf ganz \(\mathbb R\) definiert. In diesem Fall ist der Graph eine „glatte“, d. h. stetige...
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Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten hat die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \ \ (m \in \mathbb Z, \ n \in \mathbb N)\) Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen wesentlich davon ab, ob der Exponent insgesamt positiv oder negativ ist: \(\dfrac m n >0\) \(\dfrac m n < 0\) (maximale) Definitionsmenge \(D_f = \mathbb R_0^+\) \(D_f = \mathbb R^+\) Wertemenge \(W_f = \mathbb R_0^+\) \(W_f = \mathbb R^+\) Funktionsgraph Parabel \(\dfrac m n\) -ter Ordnung Hyperbel \(\dfrac m n\) -ter Ordnung Nullstelle x = 0 (im Urpsrung) keine Monotonie in ganz D f streng...
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Wurzelfunktionen kann man auf zwei äuqivalente Weisen definieren: Sie sind Potenzfunktionen mit einem Stammbruch im Exponenten, haben also die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N)\) . Sie sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, sofern man diese auf den Definitionsbereich auf \(D_f = \mathbb R_0^+\) einschränkt: \(x = f(y) = y^n \ \ \Rightarrow \ \ y = g(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N) \) bzw. g = f –1 und f = g –1 Außerdem kann man natürlich auch eine...
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Gleichungen , bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen . Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung...