In Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung typische Vorgehensweisen beim Bestimmen von „günstigen“ und „allen“ Ausgängen eine Zufallsexperiments . Speziell gemeint sind damit die Pfadregeln , mit denen man Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm berechnen kann.
Eine der beiden Pfadregeln für Baumdiagramme (meist wird die Additions - bzw. Summenregel als die zweite Pfadregel bezeichnet). Die Additionsregel ist die „horizontale“ Pfadregel, denn sie betrifft Ergebnisse bzw. Ereignisse auf derselben Stufe im Baumdiagramm des untersuchten mehrstufigen Zufallsexperiments . Beispiel: In einer Lieferung befinden sich Fliesen, davon sind 80 % sind „1. Wahl“ und 20 % „2. Wahl“ ( erste Stufe ). Eine automatische Kontrolle soll Fliesen 2. Wahl aussortieren, dies geschieht bei 1.-Wahl-Fliesen (fälschlich!) mit 5 % Wahrscheinlichkeit, 2.-Wahl-Fliesen mit einer 90...
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, vorausgetzt bzw. unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist bzw. sicher eintreten wird. Eine andere Schreibeweise setzt die Bedingung als kleinen Index: P B ( A ) = P ( A | B ). Man liest jeweils „ P von A unter der Bedingung B ". Beispiel: Aus einer Urne mit vier Kugeln (2 rote, 2 blaue) werden nacheinander 2 Kugeln gezogen (und nicht zurückgelegt). Die beiden Ereignisse sollen jetzt sein A : „Blau beim 2...
Der Erwartungswert \(E(X) = \mu\) ist die wichtigste Größe, mit der sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F ( X ) charakterisieren lässt. Wenn die Zufallsvariable X in einem Zufallsexperiment gemessen („realisiert“) wird, wird sich der arithmetische Mittelwert bei unendlich vielen Wiederholungen beliebig dicht an den Erwartungswert annähern. Anders gesagt: E ( X ) ist das Ergebnis, das man „auf die Dauer erwarten kann“. Bei nur einmaliger Ausführung des Zufallsexperiments hat E ( X ) die höchste Wahrscheinlichkeit, je nach Breite der Verteilung kann es aber auch gut möglich sein, etwas...
Wenn ein Ereignis A die Wahrscheinlichkeit p hat, nennt man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{A}\) die Gegenwahrscheinlichkeit oder Komplementärwahrscheinlichkeit . Beträgt z. B. die Wahrscheinlichkeit eines Lotto-Hauptgewinns 1 : 13,84 Mio. (0,000.000.007.2 %), dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit für „kein Hauptgewinn“ 99,999.999.992.8 %.
Unter dem Gesetz der großen Zahl versteht man eine Reihe von Formulierungen, deren Kern es ist, dass Wahrscheinlichkeitsaussagen desto besser zutreffen, je größer eine Stichprobe ist bzw. je häufiger ein Zufallsexperiment ausgeführt wird. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich im Mittel immer mehr dessen Wahrscheinlichkeit an, wenn das entsprechende Zufallsexperimente immer öfter wiederholt wird. Der Messfehler des Mittelwerts wird desto kleiner, je häufiger man misst. Die Summe einer großen Zahl n von unabhängigen Zufallsvariablen nähert sich immer mehr der Normalverteilung an...
Allgemein ist ein Glücksspiel ein Spiel, bei dem der Zufall eine große Rolle spielt. In der Stochastik (und auch juristisch) versteht man darunter ein Spiel, bei dem es (vor allem) vom Zufall abhängt, ob man Geld gewinnt oder verliert. Es handelt sich also um ein Zufallsexperiment mit einer gewissen Gewinnerwartung, wobei der Erwartungswert auch negativ sein kann – dann verliert man. Klassische Beispiel sind Poker, 17 und 4 (Black Jack), Lotto, Roulette oder Glücksrad. Auch Münzwürfe , Würfelspiele oder Sport- und sonstige Wetten sind Glücksspiele, sofern man auf bestimmte Ausgänge (...
Die Heisenberg’sche Unschärferelation (nach Werner Heisenberg ) ist eine fundamentale quantenmechanische Beziehung, nach der es unmöglich ist, für ein Teilchen den Impuls p und den Ort x zur gleichen Zeit beliebig genau zu messen. Für die Unschärfe (Ungenauigkeit) \(\Delta p\) des Impulses und die des Ortes \(\Delta x\) eines Teilchens gilt vielmehr die Ungleichung: \(\Delta p \cdot \Delta x \ge \dfrac h{4\pi} = \dfrac \hbar 2\) ( h : Planck’sches Wirkungsquantum ). Je genauer die eine Größe bestimmt wird, desto ungenauer ist die andere zu bestimmen. Die Heisenberg’sche Unschärferelation...
Unter einer Kombination versteht man in der Kombinatorik eine ungeordnete Auswahl von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Anders als bei Variationen und Permutationen spielt hier also die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle. Wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind, sind die Kombinationen einfach die Teilmengen dieser Menge. So hat z. B. die Menge {X; Y; Z} nur die drei verschiedenen 2-Kombinationen {X; Y}, {X; Z} und {Y; Z}, da nicht zwischen {X; Y} und {Y; X} unterschieden wird. Andernfalls kommen noch die drei Kombinationen {X; X}, {Y; Y} und {Z; Z} hinzu. Eine...
Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Stochastik , das sich mit dem Abzählen von Möglichkeiten befasst, Zahlen oder allgemeiner Elemente von Mengen auszuwählen und anzuordnen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn man bei einem Laplace-Experiment Wahrscheinlichkeiten nach dem Prinzip „günstige Fälle durch alle Fälle“ berechnen möchte. Das klassische Beispiel ist eine Lotterie: Man muss herausfinden, wie viele Ausgänge der Lotterie einen Gewinn versprechen und wie viele Ausgänge es insgesamt gibt. Dabei müssen die beiden folgenden Fragen beachtet bzw. geklärt werden: Kommt es auf die...
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird entweder ein Zufallsexperiment (mehrfach) wiederholt oder es werden verschiedene Zufallsexperimente hintereinander ausgeführt und bestimmte Ergebniskombinationen der Einzelexperimente („Stufen“) als Ergebnisse bzw. Ereignisse des mehrstufigen Zufallsexperiments untersucht. Beispiele für den ersten Fall sind die verschiedenen Urnenmodelle , bei denen aus einer abstrakten „Urne“ mit mehreren, zum Teil unterschiedlich gefärbten Kugeln nacheinander Kugeln „gezogen“ werden. Als Beispiel für den zweiten Fall kann man eine Meinungsumfrage ansehen, wobei...