Wahrscheinlichkeiten – Lexikoneinträge
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Bei Laplace-Experimenten (s. Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ) gilt: \(|A|\) und \(|\Omega |\) werden mit kombinatorischen Hilfsmitteln bestimmt. (s. Kombinatorik ) Beispiele \(A =\) „Genau fünf Richtige im Lotto“ Die Lotto-Ergebnisse (ohne Zusatzzahl) sind Kombinationen von \(6\) Zahlen ohne Wiederholung aus den \(49\) Zahlen \(1\) bis \(49\) . \(|\Omega | = K_{oW} (49; 6) = \dbinom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot (49-6)!} = 13 983 816\) Es wurden fünf Zahlen der sechs gezogenen Zahlen richtig getippt und eine Zahl aus den \(43\) nicht gezogenen Zahlen. \(|A| = \dbinom{6}{5}...
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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung dienen Urnenmodelle dazu, Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente zurückzuführen, für welche die Wahrscheinlichkeiten recht übersichtlich berechnet werden können. Beispiel: Eine Schulklasse besteht aus 15 Mädchen und 12 Jungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Mädchen auszuwählen? Die Situation wird durch ein Urne genanntes, undurchsichtiges Gefäß modelliert, das 12 blaue und 15 rote Kugeln enthält. Wird daraus zufällig eine Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel („Mädchen“) zu ziehen, \(P(„\text{rot}“) =...
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Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass jede gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt wird. Dadurch liegen bei jedem Ziehen gleich viele Kugeln jeder Sorte in der Urne und die Einzelwahrscheinlichkeiten sind bei allen Ziehungen gleich groß. In diesem Fall ist es auch möglich, häufiger zu ziehen als Kugeln in der Urne sind, die Zahl der Ziehungen k kann also auch größer als N (im Prinzip sogar eine beliebige natürliche Zahl) sein. Beispiel: Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Da ich gerade Zahnschmerzen habe, esse ich die Bonbons nicht nach...
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Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass eine einmal gezogene Kugeln nicht mehr in die Urne zurückgelegt wird, sondern „draußen“ bleibt. Dadurch ändert sich mit jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Kugelsorte gezogen wird. Außerdem kann man in diesem Fall (logischerweise) höchstens N -mal ziehen (Zahl der Ziehungen \(k \le N\) ). Beispiel: Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Wenn ich ein beliebiges Bonbon herausnehme und esse, betragen die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Ziehen P („blau“) = 4/9, P („rot“) = 3/9 und P („gelb“...