Vektoren – Klassenarbeiten
Vektoren – Lexikoneinträge
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Um den ( senkrechten ) Abstand eines Punkts P von einer Geraden g zu berechnen, geht man folgendermaßen vor: Man bestimmt den Lotfußpunkt F , indem man das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden und einem (variablen) Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt P und einem beliebigen Geradenpunkt \(X \in g\) null setzt. Die erhaltene Gleichung wird nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst und das Ergebnis in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Lotfußpunkts F zu bekommen. Dann berechnet man den Abstand von P und F als Betrag des...
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Der Betrag \(| \vec v |\) eines Vektors \(\vec v\) ist bildlich gesprochen die Länge des zugehörigen „Vektorpfeils“, weswegen man oft auch von der Länge des Vektors spricht. Wenn man die Komponenten eines zweidimensionalen Vektors kennt, kann man seinen Betrag einfach mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen: \(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2}\) In drei Dimensionen gilt entsprechend \(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\v_3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2+ v_3^2}\) Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Betrag...
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Als Differenzvektor oder Verbindungsvektor zweier Punkte X und Y bezeichnet man die Differenz der Ortsvektoren , also den Vektor \(\vec z = \vec x - \vec y\) . Der Betrag des Differenzvektors ist der Abstand zwischen den Punkten X und Y . Anders als Ortsvektoren sind Differenzvektoren unabhängig von der Wahl des Koordinatenursprungs. Würde man den Ursprung z. B. um einen Vektor \(\vec d\) verschieben, würde für die Ortsvektoren von X und Y zwar \(\vec x' = \vec x + \vec d\) und \(\vec y' = \vec y + \vec d\) gelten, der Differenzvektor bliebe aber gleich: \(\vec z' = \vec x' - \vec y' = \vec...
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Ein Eigenvektor ist ein Vektor , dessen Richtung sich bei einer linearen Abbildung , d. h. bei Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix , nicht ändert. Das bedeutet, dass der Vektor bei dieser Abbildung höchstens länger oder kürzer (also „ skaliert “), aber nicht gedreht wird. Der Skalierungsfaktor heißt dann Eigenwert . Beispiel: Die Matrix A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\) hat die Eigenvektoren \(\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) , \(\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_3 = \begin{pmatrix} 1 \...
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Ein Eigenwert ist der Faktor, um den sich der Betrag eines Eigenvektors einer linearen Abbildung ändert, wenn er mit der Abbildungsmatrix multipliziert wird. Die Aufgabe, die unbekannten Eigenwerte e i (und Eigenvektoren \(\vec v_i\) ) zu einer gegebenen Matrix A zu finden, heißt Eigenwertproblem . Es soll dabei gelten: \(A\cdot \vec v_i = e_i \cdot \vec v_i \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) \cdot \vec v_i = 0\) ( 1 ist die Einheitsmatrix.) In Komponenten sieht dies (für dreidimensionale Vektoren) so aus: \(\begin{pmatrix} a_{11} - e_i& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_...
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Ein kartesisches Koordinatensystem (nach dem Mathematiker und Philosophen René Descartes , der sich lateinisch „Cartesius“ nannte) zeichnet sich von anderen Koordinatensystemen durch folgende Eigenschaften aus: Seine Achsen sind Geraden . Seine Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Seine Achsen schneiden sich im selben Punkt, dem Ursprung (dies ist allerdings auch bei anderen Koordinatensystem fast immer der Fall). In zwei Dimensionen nennt man das kartesische Koordinatensystem auch Achsenkreuz . Es dient vor allem zur Darstellung von Funktionsgraphen , insbesondere auch bei...
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Ein Koordinatensystem ist ein Bezugsrahmen, in dem man die Position eines Punkts eindeutig durch Zahlen beschreiben kann. Wie viele Zahlen nötig sind, hängt davon ab, mit wie vielen „Dimensionen“ man es zu tun hat: In der zweidimensionalen Ebene oder auf der ebenfalls zweidimensionalen Erdoberfläche reichen zwei Zahlen ( x und y bzw. geografische Breite und Länge), im dreidimensionalen Raum müssen es drei Zahlen sein (Länge, Breite, Tiefe oder Rechtswert, Hochwert, Meereshöhe). Übrigens kann man auch die Zahlengerade als ein Koordinatensystem ansehen: nämlich eines mit nur einer Dimension. Man...
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Eine Linearkombination von Vektoren ist eine (Vektor-)Summe dieser Vektoren, wobei jeder Summand noch mit einem Skalar multipliziert werden kann, den man – ähnlich wie bei einem Polynom – Koeffizient nennt: \(a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + \ldots + a_n\vec v_n\) Die Koeffizienten sind hier die Zahlen a 1 , a 2 , …, a n . Der Name „Linearkombination“ kommt daher, dass kein Vektor mit sich selbst (oder einem anderen Vektor) multipliziert wird, also nur „erste Potenzen“ von Vektoren auftreten. In der Ebene ist jede Linearkombination von mehr als zwei Vektoren linear abhängig , im Raum jede...
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Die Multiplikation von zwei Matrizen ist eine Rechenoperation, deren Ergebnis wiederum eine Matrix ist. Wenn man die Matrizen als Abbildungsmatrizen ( Analytische Geometrie ) bzw. Übergangsmatrizen ( Stochastik ) auffasst, entspricht das Matrixprodukt der Hintereinanderausführung zweier Abbildungen bzw. zweier „Zeitschritte“ eines Zufallsvektors . Da man Vektoren als Matrizen mit nur einer Spalte bzw. Zeile ansehen kann, ist die Matrixmultiplikation auch für Vektoren definiert (siehe unten). Die Matrizenmultiplikation einer m × n -Matrix A mit einer n × p -Matrix B wird komponentenweise...
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Ein Ortsvektor ist ein Vektor , der vom Ursprung O des (kartesischen) Koordinatensystems zu einem Punkt P in der Ebene bzw. im Raum zeigt: \(\vec p = \overrightarrow{OP}\) . Anders als bei allgemeinen Vektoren ist also bei einem Ortsvektor der Startpunkt festgelegt und außerdem abhängig vom gewählten Koordinatenursprung: \(\vec p' = \overrightarrow{O'P} \ne \vec p = \overrightarrow{OP}\) . Die Komponenten des Ortsvektors \(\vec p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\) eines Punkts P ( p 1 | p 2 ) in der Ebene bzw. \(\vec p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}\) eines...
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Der Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen zwei Ebenen E 1 und E 2 ist der (nicht stumpfe) Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\) . mit den Ebenen \(E_1 : \overrightarrow{n_1} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_1} ) = 0\) und \(E_2 : \overrightarrow{n_2} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_2} ) = 0\) , mit den Aufpunkten (Stützvektoren) \(\vec a_1\) und \(\vec a_2\) . Beispiel: \(E_1 : 2 x_1 - 6 x_2 + 3 x_3 + 4 = 0\) und \(E_2 : 1,5 x_1 - x_2 + 3 x_3 - 1 = 0\) \(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}...
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Unter dem Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen einer Geraden g und einer Ebene E versteht man den nicht stumpfen Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene der senkrechten Projektion g E des Richtungsvektors \(\vec u\) der Geraden auf die Ebene. Dies ist also nicht der Winkel \(\psi\) zwischen \(\vec n\) und \(\vec u\) , sondern es gilt \(\varphi = 90^\circ - \psi\) (siehe Abbildung). Dabei sind \(g : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} (\lambda \in \mathbb{R})\) und \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a}...