Ungleichungen – Klassenarbeiten
Ungleichungen – Lexikoneinträge
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In der Mathematik bzw. der Logik ist eine Aussage , einfach ausgedrückt, etwas, das entweder wahr oder falsch ist (und nichts anderes). Beispiele: „1 + 1 = 2“ ( wahr ) „3 + 4 = 5“ ( falsch ) „Am 5. April 2016 um 18 Uhr regnet es in Heidelberg.“ (leider wahr ) „In diesem Lexikon gibt es zum Thema „Aussagen“ einen Eintrag.“ ( wahr ) „Berlin liegt am Neckar.“ (falsch) Keine Aussagen sind Fragen, Befehle oder sinnlose Äußerungen: „Wie spät ist es?“ „Komm her!“ „Gehen Bär grün“ Wenn eine mathematische Gleichung oder Ungleichung eine Variable enthält, ist sie keine Aussage mehr (man weiß ja nicht...
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Die Grundmenge G einer Gleichung oder Ungleichung mit Variablen enthält alle Objekte, die grundsätzlich für die Variablen eingesetzt werden können. (In der Schulmathematik sind das in aller Regel Zahlen). Die Definitionsmenge D enthält dagegen nur diejenigen Elemente der Grundmenge, mit denen sich ein mathematisch sinnvoll definierter Ausdruck ergibt. Im Wesentlichen schließt man, um D festzulegen, aus G alle Zahlen aus, mit denen in einem Nenner 0, unter einer Wurzel eine negative Zahl oder im Argument eines Logarithmus eine negative Zahl oder 0 stünde.
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Lineare Ungleichungssysteme unterscheiden sich, wie der Name schon erahnen lässt, von Linearen Gleichungssystemen (LGS) darin, dass an die Stelle des Gleichheitszeichens ein anderes Vergleichszeichen tritt, z. B. „ \(\le\) “ oder „>“ ( Ungleichungen ). Im Folgenden wird zunächst ein lineares Ungleichungssystem mit einer Variablen vorgestellt. Gesucht ist die Lösung des folgenden Systems aus zwei Ungleichungen ( \(D = G = \mathbb R\) ): \(\begin{matrix} \text{(I)} &4x& +&5&> &-3\\ \text{(II)} &8x& +&2&< &2 \end{matrix}\) Zunächst bestimmen wir die Teillösungsmengen von Ungleichung \(\text{(I)...
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Die Lösungsmenge L einer Gleichung oder Ungleichung enthält alle Elemente der Definitionsmenge D , welche zu einer wahren Aussage führen, sofern sie für die Variable(n) eingesetzt werden. Handelt es sich dabei um einige einzelne Werte, gibt man die Lösungsmenge meist durch Aufzählen aller Elemente an, z. B. \(x^2= 1 \ \ \Rightarrow \ \ L=\{ -1; 1 \}\) Bei sehr vielen oder unendlich vielen Lösungen gibt es verschiedene Kurznotationen, z. B. \(x= |x| \ \ (D = \mathbb R) \ \ \Rightarrow \ \ L= \mathbb R_0^+ = \{x| x \ge0 \}\) Eine (Un-)Gleichung, die immer erfüllt ist, hat ganz D als...
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Ein Ausdruck, in dem zwei Terme durch ein anderes Vergleichszeichen als das Gleichheitszeichen verbunden werden („Kleiner als“, „Größerer als“, „K leiner gleich“, „Größerer gleich“, „Ungleich“), heißt Ungleichung : \(T_1<T_2 \) , \(T_1>T_2\) , \(T_1 \le T_2 \) , \(T_1 \ge T_2\) , \(T_1 \ne T_2\) Genau wie eine Gleichung kann auch eine Ungleichung eine wahre oder eine falsche Aussage sein. Beispiele: \(\begin{matrix} 3&+&9&<&20&\text{wahre Aussage}\\ 3&+&9&<&12&\text{falsche Aussage}\\ 3&+&9&>&10&\text{wahre Aussage}\\ 3&+&9&>&20&\text{falsche Aussage}\\ \end{matrix}\) Tritt in einer...
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Ein Variable x ist ein im Prinzip komplett beliebiges Symbol oder Zeichen, an dessen Platz man eine Zahl , einen Vektor , einen Term oder irgendetwas anderes einsetzen kann, was gerade dafür geeignet oder erlaubt ist. Man nennt Variablen daher auch Platzhalter . Anmerkung: Korrekterweise werden Variablen immer kursiv gedruckt, um sie sofort von Zahlen oder Funktionsnamen unterscheiden zu können. Wichtig sind bei der obigen Erklärung die Worte „ geeignet oder erlaubt “. Für jede Variable gibt es eine Menge von Elementen , die für sie eingesetzt werden dürfen, die sog. Grundmenge G . Soll...