Terme – Lernwege
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Was ist eine Äquivalenzumformung?
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Terme – Lexikoneinträge
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Im allgemeinen Sinn versteht man unter Algebra das Teilgebiet der Mathematik, wo mit Zahlen und Buchstaben „gerechnet“ wird, also Terme umgeformt und Gleichungen sowie Ungleichungen gelöst werden. Eine spezielle Rolle spielt die Lineare Algebra , die sich nur mit einfachen, nämlich linearen Gleichungen abgibt, aber dafür nicht mit einfachen Zahlen, sondern mit geometrischen Objekten wie Vektoren oder Matrizen rechnet. In diesem Lexikon wird sie daher unter dem geläufigeren Begriff Analytische Geometrie behandelt. Der Algebra in der „höheren“ Mathematik geht es weniger darum, ob man Lösungen...
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Eine Umformung der Terme einer Gleichung , bei der sich deren Lösungsmenge L (und auch deren Definitionsmenge D ) nicht ändert, nennt man Äquivalenzumformung . Mit anderen Worten: Eine Gleichung ist nach einer Äquivalenzumformung äquivalent zur Form, in der sie vor der Umformung war. Das Wort äquivalent kommt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „gleichwertig“. Beispiel: (I) ( x – 2) · ( x + 5) = 0; D = ℝ; L = {–5; 2} (II) –2 x 2 – 6 x + 20 = 0; D = ℝ; L = {–5; 2} Beide Gleichungen haben dieselbe Defintions- und Lösungsmenge, also sind sie äquivalent und die Umformung...
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Das Assioziativgesetz , Verbindungsgesetz oder „ Klammergesetz “ ist ein grundlegendes Rechengesetz. Es besagt, dass man bei Addition und Multiplikation (bzw. bei allen Rechenarten und -operationen, bei denen es gilt) beliebig Klammern setzen oder weglassen kann: \(\begin{matrix}(a + b) + c &=& a + (b + c)\\ (a · b) · c &=& a · (b · c)\end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} (10 + 8) + 6 &=& 18 + 6 &=& \mathbf{24} &=& 10 + 14 &=& 10 + (8 + 6)\ \(2 · 4) · 6 &=& 8 · 6 &=& \mathbf{48} &=& 2 · 24 &=& 2 · (4 · 6)\end{matrix} \) Mithilfe von negativen Vorzeichen („Minus“) und Kehrwerten kann...
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Eine Gleichung heißt Bruchgleichung , wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält. Beim Lösen einer Bruchgleichung muss man einerseits darauf achten, dass kein Nenner 0 wird, und andererseits überprüfen, dass die am Ende gefundene Lösung Teil der ursprünglichen Definitionsmenge ist. Vorgehen: Definitionsmenge klären beide Seiten mit Hauptnenner bzw. Produkt der Nenner multiplizieren Gleichung ohne Bruchterme mit den üblichen Verfahren lösen Beispiel: \(\displaystyle \frac {3x - 5}{x+1} = \frac {2x + 6}{x+3}\) 1. Defintionsmenge: \(D = \mathbb R \setminus\{-1; -3\}\) 2. Hauptnenner: ( x + 1)(...
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Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn er zum einen einen Bruch enthält und zum anderen im Nenner des Bruchs mindestens eine Variable steht. Beispiele: \(\displaystyle \frac {2x + 5}{a - 3x} + 4\) ; \(\displaystyle \frac {17}{3 :5 - x}\)
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Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Verbindung von Addition und Multiplikation gilt. Es bildet die Grundlage der wichtigen Termumformungen Ausmultiplizieren und Ausklammern . Es lautet : \(\begin{matrix} a · (b + c) &=& a · b + a · c &\text{bzw.}& a · (b\ –\ c) &=& a · b\ –\ a · c \\ (a + b) · c &=& a · c + b · c &\text{bzw.} & (a\ –\ b) · c &=& a · c\ –\ b · c \end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} 3 · (4 + 5) &=& 3 · 4 + 3 · 5 &=& 12 + 15 &=& \bf{27} &=& 3 · 9 &=& 3 · (4 + 5) \\ 5 · (4\ –\ 3) &=& 5 · 4\ –\ 5 · 3 &=& 20\ –\ 15 &=&...
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Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Addition und Multiplikation von Zahlen sowie für die Addition von Vektoren und Matrizen und das Skalarprodukt von Vektoren gilt. Das Kreuzprodukt von Vektoren und die Matrizenmultiplikation sind dagegen nicht kommutativ! Für die Addition und Multiplikation lautet das Kommutativgesetz: \(\begin{matrix}a + b &=& b + a\\ a · b &=& b · a \end{matrix}\) Beispiele: \(\begin{matrix}3 + 5 &=& 8 &=& 5 + 3 \\ 4 · 6 &=& 24 &=& 6 · 4 \end{matrix} \) Für Differenzen und Divisionen gilt das Kommutativgesetz...
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Einen Term der Form \(P_n (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{1}x + a_0\) mit \(n \in \mathbb N\) , \(a_0, \ a_1, \ldots, \ a_{n-1} \in \mathbb R\) und \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\! \{0\}\) nennt man ein Polynom vom Grad n ( n -ten Grades). Eine Funktion, deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion . Eine gebrochenrationale Funktion hat als Funktionsterm einen Bruch mit je einem Polynom in Zähler und Nenner. Setzt man ein Polynom gleich null, erhält man eine Polynomgleichung der Form P n ( x ) = 0. Man kann Polynome...
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Ein Variable x ist ein im Prinzip komplett beliebiges Symbol oder Zeichen, an dessen Platz man eine Zahl , einen Vektor , einen Term oder irgendetwas anderes einsetzen kann, was gerade dafür geeignet oder erlaubt ist. Man nennt Variablen daher auch Platzhalter . Anmerkung: Korrekterweise werden Variablen immer kursiv gedruckt, um sie sofort von Zahlen oder Funktionsnamen unterscheiden zu können. Wichtig sind bei der obigen Erklärung die Worte „ geeignet oder erlaubt “. Für jede Variable gibt es eine Menge von Elementen , die für sie eingesetzt werden dürfen, die sog. Grundmenge G . Soll...