Stochastik – Klassenarbeiten
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Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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Stochastik – Lexikoneinträge
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In Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung typische Vorgehensweisen beim Bestimmen von „günstigen“ und „allen“ Ausgängen eine Zufallsexperiments . Speziell gemeint sind damit die Pfadregeln , mit denen man Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm berechnen kann.
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Eine der beiden Pfadregeln für Baumdiagramme (meist wird die Additions - bzw. Summenregel als die zweite Pfadregel bezeichnet). Die Additionsregel ist die „horizontale“ Pfadregel, denn sie betrifft Ergebnisse bzw. Ereignisse auf derselben Stufe im Baumdiagramm des untersuchten mehrstufigen Zufallsexperiments . Beispiel: In einer Lieferung befinden sich Fliesen, davon sind 80 % sind „1. Wahl“ und 20 % „2. Wahl“ ( erste Stufe ). Eine automatische Kontrolle soll Fliesen 2. Wahl aussortieren, dies geschieht bei 1.-Wahl-Fliesen (fälschlich!) mit 5 % Wahrscheinlichkeit, 2.-Wahl-Fliesen mit einer 90...
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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist „Ausfall“ eine andere Bezeichnung für ein Ergebnis eines Zufallsexperiments , wobei das Wort vereinzelt auch als Synonym für ein Ereignis gebraucht wird – also immer auf den Zusammenhang achten! Bei manchen Rechenaufgaben wird mit „Ausfall“ auch das Versagen eines Geräts bezeichnet, dessen Wahrscheinlichkeit dann als „Ausfallwahrscheinlichkeit“ bestimmt werden soll. In diesem Fall steht die Bezeichnung „Ausfall“ also für das Ergebnis eines Bernoulli-Experiments : {„geht“; „geht nicht“}.
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Drei Axiome , d. h. grundlegende Annahmen bzw. Aussagen, aus denen man die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung ableiten kann. Dabei soll die Menge \(\Omega = \big\{ \omega _1 , \omega _2 , ... \omega _n \big\}\) die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments sein, E eine Teilmenge von \(\Omega\) ( \(E \subseteq \Omega\) ) und P eine Funktion , die jedem E eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Wenn die drei folgenden Aussagen gelten, dann ist P ( E ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn zwei Zufallsexperimente dieselbe Ergebnismenge und dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, sind...
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Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, vorausgetzt bzw. unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist bzw. sicher eintreten wird. Eine andere Schreibeweise setzt die Bedingung als kleinen Index: P B ( A ) = P ( A | B ). Man liest jeweils „ P von A unter der Bedingung B ". Beispiel: Aus einer Urne mit vier Kugeln (2 rote, 2 blaue) werden nacheinander 2 Kugeln gezogen (und nicht zurückgelegt). Die beiden Ereignisse sollen jetzt sein A : „Blau beim 2...
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Bei Laplace-Experimenten (s. Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ) gilt: \(|A|\) und \(|\Omega |\) werden mit kombinatorischen Hilfsmitteln bestimmt. (s. Kombinatorik ) Beispiele \(A =\) „Genau fünf Richtige im Lotto“ Die Lotto-Ergebnisse (ohne Zusatzzahl) sind Kombinationen von \(6\) Zahlen ohne Wiederholung aus den \(49\) Zahlen \(1\) bis \(49\) . \(|\Omega | = K_{oW} (49; 6) = \dbinom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot (49-6)!} = 13 983 816\) Es wurden fünf Zahlen der sechs gezogenen Zahlen richtig getippt und eine Zahl aus den \(43\) nicht gezogenen Zahlen. \(|A| = \dbinom{6}{5}...
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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen, z. B. der Wurf einer (unendlich dünnen) Münze oder das Funktionieren oder Nichtfunktionieren eines elektronischen Geräts. Meist gilt eines der beiden Ergebnisse als wünschenswerter (z. B. „Funktionieren“ oder „Gewinnen“), die entsprechende Wahrscheinlichkeit nennt man dann die Erfolgs - oder Trefferwahrscheinlichkeit p . Der andere Ausgang hat dann die Gegenwahrscheinlichkeit 1 – p . Wird ein Bernoulli-Experiment n -mal unter identischen Bedingungen wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette . Die...
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Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsversuch , der aus n unanbhängigen Wiederholungen des gleichen Bernoulli-Experiments besteht. Dieses hat nur zwei verschiedene Ausgänge, der eine hat die Erfolgs - oder Trefferwahrscheinlichkeit p und der andere die Wahrscheinlichkeit 1 – p . Beispiele für Bernoulli-Experimente: Wenn man die Ergebnismenge eines einzelnen Bernoulli-Experiments abstrakt mit \(\Omega = \{0; 1\}\) angibt, besteht die Ergebnismenge der Bernoulli-Kette aus allen n -Tupeln , die nur die Zahlen 0 und 1 enthalten. (Man kann natürlich die beiden Bernoulli-Ergebnisse auch anders...
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Die Binomialverteilung ist die wichtigste (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, in einer Bernoulli-Kette eine bestimmte Anzahl von „Erfolgen“ zu erzielen. Wenn die beiden möglichen Ausgänge des Einzelexperiments die Wahrscheinlichkeit p („Erfolg“) und 1 – p („verloren“) haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei n Wiederholungen genau k -mal Erfolg zu haben, \(P(X=k) = B_{n; p}(k)= \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) dabei sind \(n \in \mathbb{N}\) , \(0 \le p \le 1 \) , \(k \in \{0; 1; \ldots n\}\) und X ist...
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Definition Ein Boxplot ist ein Diagramm zur Darstellung von statistischen Daten. Beispiel In einer Hundeaufzucht haben 15 Hundedamen Welpen bekommen. Die Anzahl der Welpen wird in einer Liste vermerkt: 8, 1, 4, 2, 3, 5, 7, 9, 5, 2, 3, 1, 7, 1, 6. Vor jeder statistischen Betrachtung der Daten müssen sie der Größe nach geordnet werden, es folgt somit: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 Allgemeine Darstellung Die wichtigsten Begriffe eines Boxplots sind das Minimum sowie Maximum , unteres und oberes Quartil sowie der Median . Das Minimum stellt den kleinsten, minimalsten Wert der Daten...
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Andere Bezeichnung für ein Ergebnis eines Zufallsexperiments .
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Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) , also eine Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen (Elementarereignissen) zu einem „kombinierten“ Ausfall des Experiments. Die Verknüpfung von Ereignissen lässt sich daher besonders gut mithilfe der Regeln der Mengenlehre beschreiben. Beispiel: Beim Roulette gibt es 37 verschiedene Ergebnisse, nämlich die natürlichen Zahlen von 0 bis 37, also ist die Ergebnismenge \(\Omega = (0, 1, 2, ... 35, 36)\) . Man kann aber nicht auf eines dieser jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac...