Reihen – Lexikoneinträge
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Wenn sich eine Zahlenfolge ( a n ) mit wachsendem n beliebig dicht an einen bestimmten Wert g annähert, nennt man diese Zahl g den Grenzwert der Folge. Man sagt auch, dass die Folge gegen g konvergiert . Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann divergiert sie (bzw. ist sie divergent ). Eine Folge mit dem Grenzwert 0 ist eine Nullfolge . Da die Partialsummen einer Reihe wiederum eine Folge bilden, kann man auch mögliche Grenzwerte von Reihen untersuchen. Wenn die Folge ( a n ) den Grenzwert g hat, dann sind höchstens endlich viele (auf mathematisch heißt das so gut wie keine, auch wenn es...
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Eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 nennt man eine Nullfolge . Beispiele: Rationale Terme , bei den das Nennerpolynom von höherem Grad ist als das Zählerpolynom: \(\displaystyle \left( \frac{1}{n^2} \right)\) , \(\displaystyle \left( \frac{2-n}{n^3} \right)\) usw. Auch alternierende Folgen können Nullfolgen sein, z. B. \(\displaystyle \left( \frac{ (-1)^n}{n} \right)\) . (e – n ), vgl. die Exponentialfunktion . Wenn eine Folge ( a n ) den Grenzwert g hat, dann ist die Folge ( a n – g ) eine Nullfolge.
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Die Summen über die ersten n Glieder einer endlichen oder unendlichen Zahlenfolge ( a n ) kann man als Glieder einer endlichen bzw. unendlichen Summenfolge ( s n ) auffassen mit \(s_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k= a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) . Diese Summenfolge nennt man eine endliche bzw. unendliche Reihe . Die Glieder vor allem von unendlichen Reihen heißen auch Partialsummen ( Teilsummen ). Beachte: Den Ausdruck mit dem „Summenzeichen“ \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) liest man: „Summe (über) a k von k gleich eins bis n“. Es ist im Übrigen Vereinbarungssache, ob man die Summe bei 0...