reelle Zahlen – Klassenarbeiten
reelle Zahlen – Lexikoneinträge
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Dezimalzahlen sind grundsätzlich alle Zahlen, die im Stellensystem mit der Basis \(10\) (Dezimalsystem) aufgeschrieben werden. Das ist für die meisten in der Schule und im Alltag verwendeten Zahlen der Fall. Das heißt, im weiteren Sinne ist die Zahl \(-1{,}5\) ebenso eine Dezimalzahl wie \(2\) oder \(3{,}141.592.653.589.793\dots\) In vielen Schulbüchern werden Dezimalzahlen aber in einem engeren Sinne verwendet. Dort werden häufig nur Kommazahlen gemeint. Genau genommen werden Dezimalzahlen gemeint, die in Zifferndarstellung mindestens eine Stelle hinter dem Komma haben, die nicht \(0\) i...
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Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen , also eine Strecke auf der Zahlengeraden . Man unterscheidet abgeschlossene (Anfangs- und Endwert gehören dazu) und offene Intervalle. Halboffene Intervalle sind entsprechend auf einer Seite offen und auf einer abgeschlossen. Ein Intervall wird durch seine Grenzen sowie eckige (oder runde) Klammern angegeben: abgeschlossenes Intervall mit Grenzen a , b : \(\ \quad\) [ a ; b ] offenes Intervall mit Grenzen a , b : \(\quad\) ] a ; b [; \(\quad\) alternative Schreibweise: \(\quad\) ( a ; b ) halboffenes Intervall mit Grenzen a...
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Intervallschachtelungen dienen zur exakten Definition von irrationalen Zahlen bzw. allgemein von reellen Zahlen . Eine Intervallschachtelung ist eine Folge ( I n ) von Intervallen , wobei das nächste Glied immer im vorigen Glied der Folge enthalten ist und nur eine Zahl in allen Folgengliedern enthalten ist. Diese Zahl ist die rationale oder irrationale Zahl, welche durch diese Intervallschachtelung eindeutig festgelegt ist. Die Intervallfolge wiederum wird definert durch die monoton steigende Zahlenfolge ( a n ) und die monoton fallende Zahlenfolge ( b n ), welche jeweils die Intervallgrenzen...
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Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Quotient bzw. Verhältnis (lateinisch „ratio“) aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also nicht zur Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen gehören. Die irrationalen und die rationalen Zahlen bilden zusammen die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . (Es gibt keinen speziellen „Mengenbuchstaben“ für die Menge der irrationalen Zahlen, man kann sie beispielsweise als \(\mathbb R \setminus \mathbb Q\) schreiben. Den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erkennt man an ihrer Darstellung als Dezimalzahlen : Es...
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Eine nichtleere Menge von Zahlen heißt Körper , wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: Es gibt die zwei Rechenoperationen Addition und Multiplikation , für die jeweils das Assoziativ - und das Kommutativgesetz gelten. Jede Summe und jedes Produkt von zwei Elementen des Körpers sind ebenfalls Elemente des Körpers. Addition und Multiplikation besitzen jeweils ein neutrales Element (0 bzw. 1) und zu jedem Element x der Menge gibt es sowohl ein additives (– x ) als auch ein multiplikatives ( \(\dfrac 1 x\) ) inverses Element (mit Ausnahme der 0, die ist ihr eigenes additives Inverses, hat aber...
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Die Signum-Funktion liefert das Vorzeichen einer ganzen, rationalen oder reellen Zahl . Sie hat daher nur drei mögliche Funktionswerte : +1 („Plus“), 0 („kein Vorzeichen“) und –1 („Minus“) . Das Funktionszeichen ist „sgn“. Formal schreibt man \(\text{sgn}\,x = \left\{ \begin{array} \\ +1\ \text{für}\ x > 0 \\ \ \ 0 \ \ \text{für}\ x = 0 \\ -1\ \text{für}\ x < 0 \end{array} \right.\)
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Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens , sofern man sich auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt: \(x = a^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) bzw. \(x = a^n \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt[n] x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) \(\displaystyle \left( \sqrt[n] x \right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) Die Zahl oder der Term „unter der Wurzel“ heißt Radikand , die Zahl n Wurzelexponent . Es gilt weiterhin: \(\sqrt{x^2} = |x|\) (eine Wurzel ist nie negativ) Achtung: Für negative Radikanden sind die obigen Terme nicht...
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Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden . Man kann sie auch als eine Art eindimensionales Koordinatensystem auffassen. Man wählt dabei einen beliebigen Punkt „0“ (die Gerade ist ja sowieso unendlich lang) auf der Gerade als Nullpunkt . Rechts davon liegen die positiven Zahlen, links die negativen. Der Abstand eines Punkts A auf der Zahlengeraden vom Nullpunkt (bzw. die Länge der Strecke \(\overline{0P}\) ) entspricht dem Betrag der zu diesem Punkt gehörenden Zahl a . Wenn man es ganz exakt machen will, formuliert man das so: Der Abstand...
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Der Zahlenstrahl ist sozusagen die rechte Hälfte der Zahlengeraden , nämlich die Halbgerade, die bei der Zahl Null beginnt und bis ins (positiv) Unendliche läuft. Auf dem Zahlenstrahl werden vor allem Bruchzahlen , aber auch natürliche Zahlen dargestellt. Die Punkte auf ihm entsprechen allgemein den positiven reellen Zahlen und der Null.